Qual é o número pelo qual se deve dividir 450, para que o quociente gerado tenha 8 divisores?

Passo 1

O enunciado pede para encontrar um divisor k de 450 tal que o quociente
m = 450k
tenha exatamente 8 divisores. Aqui vamos usar:
  1. fatoração prima;
  2. fórmula do número de divisores, que para
m = p1^ap2^bp3^ccdots
é
d(m) = (a+1)(b+1)(c+1)cdots

Passo 2

Vamos fatorar 450 em primos:
450 = 2^1 times 3^2 times 5^2

Passo 3

Seja
m = 450k = 2^a times 3^b times 5^c,
onde 0<= a<=1, 0<= b<=2, 0<= c<=2. Queremos
d(m) = (a+1)(b+1)(c+1) = 8

Passo 4

As possíveis fatorizações de 8 em três fatores são
8 = 8cdot1cdot1, 4cdot2cdot1, 2cdot2cdot2
A única compatível com as restrições a<=1, b<=2, c<=2 é
2cdot2cdot2,
isto é
a+1 = 2,;b+1 = 2,;c+1 = 2 Longrightarrow a=b=c=1
Logo
m = 2^1cdot3^1cdot5^1 = 30,
que de fato tem
d(30) = 2cdot2cdot2 = 8
divisores.

Passo 5

Como m = 30 e m = 450/k, temos
k = 45030 = 15

Resposta

15

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