O número de 4 dígitos 2 pqr é multiplicado por 4 e o resultado é um número de 4 dígitos rqp2. Pode-se afirmar que p+q= ?
a) 8
b) 7
c) 6
d) 5
e) nda

Passo 1

O enunciado diz que temos um número de quatro dígitos N=2pqr (com dígitos p,q,r) tal que
4N = rqp2
ou seja, multiplicar N por 4 inverte a ordem dos três últimos dígitos e deixa o 2 na unidade. Vamos usar valor posicional e análise módulo para determinar p, q, r e, por fim, p+q.

Passo 2

Escrevendo em valor posicional,
N = 2000 + 100p + 10q + r
e
4N = 8000 + 400p + 40q + 4r
Por outro lado, o resultado rqp2 vale
1000r + 100q + 10p + 2
Logo, a equação é
8000 + 400p + 40q + 4r = 1000r + 100q + 10p + 2

Passo 3

Reorganizando termos:
8000 + 400p + 40q + 4r -2 -10p -100q -1000r = 0
7998 + 390p -60q -996r = 0
Dividindo tudo por 6:
1333 + 65p -10q -166r = 0 Longrightarrow 65p -10q -166r = -1333
Multiplicando por -1:
-65p +10q +166r = 1333

Passo 4

Isolando q:
10q = 1333 + 65p -166r
Como q é dígito, o lado direito deve ser múltiplo de 10 e ,0<= q<=9. Vamos impor a condição módulo 10:
1333 +65p -166r equiv 0 pmod10
3 +5p -6r equiv 0 pmod10
5p -6r equiv 7 pmod10
Como 5ppmod10 só pode ser 0 (se p par) ou 5 (se p ímpar), testamos rin1,dots,9 e vemos que só r=3 e r=8 tornam 7+6requiv5 ou 0. Mas só r=3,8 são candidatos; e daí exige-se p ímpar.

Passo 5

Para cada caso de r:
  • Se r=3, 10q = 65p +835, para p ímpar ( 1,3,5,7,9) dá q muito grande ( >9).
  • Se r=8, 10q = 65p +5 Longrightarrow q = 65p+510 Testando p=1,3,5,7,9:
    • p=1 to q=(65+5)/10=7 válido.
    • Para p>=3 q>9.
Logo a única solução é (p,q,r)=(1,7,8).

Resposta

p+q = 1 + 7 = 8. Portanto a alternativa correta é a) 8.

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