Obtenha 3 números em P.A. de modo que sua soma seja 3 e a soma de seus quadrados seja 11.

Passo 1

O enunciado pede três números em progressão aritmética (P.A.) cuja soma seja 3 e a soma dos quadrados seja 11. Vamos usar a representação canônica dos termos de uma P.A. de três termos e aplicar álgebra básica para obter a (termo médio) e d (razão).

Passo 2

Em qualquer P.A. de três termos podemos escrever os termos como
a - d, a, a + d,
onde a é o termo do meio e d é a razão. A soma desses termos é
(a - d) + a + (a + d) = 3a
Como essa soma deve ser igual a 3, temos
3a = 3
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a = 1

Passo 3

A soma dos quadrados desses termos é
(a - d)^2 + a^2 + (a + d)^2
Desenvolvendo cada quadrado, vem
(a^2 - 2ad + d^2) + a^2 + (a^2 + 2ad + d^2) = 3a^2 + 2d^2
Substituindo a = 1, obtemos
3(1)^2 + 2d^2 = 3 + 2d^2
Essa expressão deve ser igual a 11, então
3 + 2d^2 = 11 Longrightarrow 2d^2 = 8 Longrightarrow d^2 = 4 Longrightarrow d = 2 ou d = -2

Passo 4

Para d = 2, os termos são
1 - 2 = -1, 1, 1 + 2 = 3
Para d = -2, a P.A. aparece invertida: 3,1,-1. Ambas satisfazem as condições, mas em ordem crescente escrevemos -1,1,3.

Resposta

Os três números são -1, 1 e 3.

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