Um número natural N deixa: resto 2 quando dividido por 3; resto 3 quando dividido por 7 e resto 19 quando dividido por 41. Qual é o resto da divisão do número k=(N+1) times(N+4) times(N+22) por 861 ?

Passo 1

O enunciado diz que N é um número natural que satisfaz os sistemas de congruência
N equiv 2 pmod3, N equiv 3 pmod7, N equiv 19 pmod41,
e quer o resto de
k = (N+1)(N+4)(N+22)
na divisão por 861. Note que
861 = 3 times 7 times 41,
logo podemos calcular k módulo cada fator primo e depois usar o Teorema Chinês dos Resíduos.

Passo 2

Calcular kpmod3. Como Nequiv2pmod3, temos
N+1equiv 2+1=3equiv0pmod3, N+4equiv 2+4=6equiv0pmod3, N+22equiv 2+22=24equiv0pmod3
Logo
k = (N+1)(N+4)(N+22)equiv 0cdot0cdot0 = 0pmod3

Passo 3

Calcular kpmod7. Como Nequiv3pmod7, temos
N+1equiv 3+1=4pmod7, N+4equiv 3+4=7equiv0pmod7, N+22equiv 3+22=25equiv4pmod7
Assim
k equiv 4cdot0cdot4 = 0pmod7

Passo 4

Calcular kpmod41. Como Nequiv19pmod41, temos
N+1equiv 19+1=20pmod41, N+4equiv 19+4=23pmod41, N+22equiv 19+22=41equiv0pmod41
Logo
k equiv 20cdot23cdot0 = 0pmod41

Passo 5

Vimos que
kequiv0pmod3, kequiv0pmod7, kequiv0pmod41
Pelo Teorema Chinês dos Resíduos, kequiv0 também módulo
3times7times41 = 861

Resposta

O resto da divisão de k por 861 é 0.

Exercícios de Livros Relacionados