Se A=2^2+2^2, B=3^3+3^3+3^3, C=4^4+4^4+4^4+4^4, D=6^6+6^6+6^6+ 6^6+6^6+6^6 e N=A times B times C times D, calcule o número de divisores positivos de N.

Passo 1

O enunciado define quatro quantidades por somas repetidas de potências:
A envolve potências de 2, B de 3, C de 4 e D de 6. Em seguida pede o número de divisores positivos de
N = A times B times C times D
O conteúdo aqui é simplificar cada soma para um único termo em forma de potência, depois obter a fatoração prima de N e usar a fórmula do número de divisores.

Passo 2

Simplificamos cada soma:
A contém duas parcelas iguais de 2^2, logo
A = 2^2 + 2^2 = 2cdot 2^2 = 2^1 cdot 2^2 = 2^3
B contém três parcelas iguais de 3^3, logo
B = 3^3 + 3^3 + 3^3 = 3cdot 3^3 = 3^1 cdot 3^3 = 3^4
C contém quatro parcelas iguais de 4^4, logo
C = 4^4 + 4^4 + 4^4 + 4^4 = 4cdot 4^4 = 4^1 cdot 4^4 = 4^5
Mas lembre que 4 = 2^2, então
C = (2^2)^5 = 2^10
D contém seis parcelas iguais de 6^6, logo
D = 6^6 + 6^6 + 6^6 + 6^6 + 6^6 + 6^6 = 6cdot 6^6 = 6^7

Passo 3

Agora escrevemos N em termos de potências primárias:
N = A times B times C times D = 2^3 times 3^4 times 2^10 times 6^7
E lembramos que 6=2cdot3, então
6^7 = (2cdot3)^7 = 2^7cdot3^7

Passo 4

Juntando as potências iguais de 2 e de 3, obtemos
N = 2^3 times 2^10 times 2^7 ;times; 3^4 times 3^7 = 2^3+10+7times3^4+7 = 2^20times3^11

Passo 5

Para uma fatoração prima N = p1^alpha1 p2^alpha2cdots, o número de divisores positivos é
(alpha1+1),(alpha2+1)cdots
Aqui alpha1=20 para o primo 2 e alpha2=11 para o primo 3. Assim
d(N) = (20+1),(11+1) = 21times12 = 252

Resposta

O número de divisores positivos de N é 252.

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