O número de veículos de uma cidade cresceu linearmente a partir do ano 2000. Sabendo que a cidade tinha 150 mil veículos em 2004 e 210 mil veículos em 2012,
a) defina uma função que forneça o número de veículos (em milhares) em relação ao tempo (em anos) transcorrido desde o ano 2000;
b) determine aproximadamente o número de veículos no ano 2000;
c) determine em que ano a cidade terá 360 mil veículos.

Passo 1

O enunciado trata de um crescimento linear do número de veículos a partir de 2000. Definimos t como o tempo em anos desde 2000 e V(t) como o número de veículos (em milhares). Sabemos que
V(4)=150
e
V(12)=210
Vamos achar a função afim que descreve esse crescimento, calcular V(0) e determinar quando V(t)=360.

Passo 2

Para determinar a taxa de crescimento a usamos
a = V(12)-V(4)12-4 = 210 - 15012-4 = 608 = 7,5
Logo a função tem forma
V(t) = a,t + b = 7,5,t + b
Para achar b, usamos V(4)=150:
150 = 7,5cdot4 + b = 30 + b
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b = 120
Portanto,
V(t) = 7,5,t + 120

Passo 3

No ano 2000 temos t=0. Então
V(0) = 7,5cdot0 + 120 = 120,
o que significa 120 mil veículos.

Passo 4

Para saber quando haverá 360 mil veículos, resolvemos
7,5,t + 120 = 360
7,5,t = 240
t = 2407,5 = 32
Isso ocorre 32 anos após 2000, ou seja, no ano 2000 + 32 = 2032.

Resposta

a) V(t) = 7,5,t + 120, com t em anos desde 2000 e V em milhares de veículos.
b) No ano 2000 havia 120 mil veículos.
c) A cidade terá 360 mil veículos em 2032.

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