(OBM-2000) Quantos números inteiros e positivos menores do que 1.000 .000 existem cujos cubos terminam em 1?
a) 1.000
b) 10.000
c) 50.000
d) 100.000
a) 1.000
b) 10.000
c) 50.000
d) 100.000
Passo 1
O enunciado pede quantos inteiros positivos
têm o cubo terminando em
. O conteúdo é análise de restos de potências em módulo
: precisamos achar todas as classes de
módulo
tais que
Passo 2
Como qualquer inteiro
pode ser escrito em função de seu último dígito, basta testar os resíduos
e verificar qual deles dá
.
Passo 3
Calculando rapidamente:
Só
. Logo
Passo 4
Agora contamos quantos
entre
e
satisfazem
. Esses
formam a progressão aritmética
O maior
inteiro tal que
é
. Portanto há
termos.
Resposta
d) 100.000