(OBM-2000) Quantos números inteiros e positivos menores do que 1.000 .000 existem cujos cubos terminam em 1?
a) 1.000
b) 10.000
c) 50.000
d) 100.000

Passo 1

O enunciado pede quantos inteiros positivos n<1,000,000 têm o cubo terminando em 1. O conteúdo é análise de restos de potências em módulo 10: precisamos achar todas as classes de n módulo 10 tais que
n^3 equiv 1 pmod10

Passo 2

Como qualquer inteiro n pode ser escrito em função de seu último dígito, basta testar os resíduos nequiv 0,1,2,dots,9pmod10 e verificar qual deles dá n^3equiv1pmod10.

Passo 3

Calculando rapidamente:
0^3 &equiv 0, &1^3 &equiv 1, &2^3 &equiv 8, 3^3 &equiv 7, &4^3 &equiv 4, &5^3 &equiv 5, 6^3 &equiv 6, &7^3 &equiv 3, &8^3 &equiv 2, 9^3 &equiv 9 pmod10
1^3equiv1pmod10. Logo
n^3equiv1pmod10 Long<=ftrightarrow nequiv1pmod10

Passo 4

Agora contamos quantos n entre 1 e 999,999 satisfazem nequiv1pmod10. Esses n formam a progressão aritmética
1,,11,,21,dots,,1+10k<= 999,999
O maior k inteiro tal que 1+10k<=999,999 é k=99,999. Portanto há k+1=100,000 termos.

Resposta

d) 100.000

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