Seja ABCD um trapézio cujos bases medem a e b, cujos lados não paralelos medem c e d. Prove que as diagonais deste trapézio medem
m=\sqrt{a \cdot b+\frac{a \cdot c^{2}-b \cdot d^{2}}{a-b}}
n=\sqrt{a \cdot b+\frac{a \cdot d^{2}-b \cdot c^{2}}{a-b}}

Passo 1

Vamos usar coordenadas para representar o trapézio ABCD. Suponha que AB\parallel CD, com
\,AB=a, \,CD=b, \,BC=c e \,DA=d. Colocamos
A em (0,0),
B em (a,0),
D em (x,h) e
C em (x+b,h).
Precisaremos aplicar o teorema de Pitágoras às distâncias AD e BC e depois usar a fórmula da distância para as diagonais.

Passo 2

Pelo teorema de Pitágoras em AD e em BC temos
x^2 + h^2 = d^2
(x + b - a)^2 + h^2 = c^2.

Passo 3

Subtraindo a primeira equação da segunda, elimina-se h^2:
(x + b - a)^2 - x^2 = c^2 - d^2.
Expandindo,
x^2 + 2x(b - a) + (b - a)^2 - x^2 = c^2 - d^2 \;\Longrightarrow\; 2x(b - a) + (b - a)^2 = c^2 - d^2.
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x = \frac{c^2 - d^2 - (b - a)^2}{2(b - a)} = \frac{(a - b)^2 + d^2 - c^2}{2(a - b)}.

Passo 4

Para a diagonal BD (comprimento m) usamos
m^2 = BD^2 = (x - a)^2 + h^2.
Como h^2 = d^2 - x^2, obtemos
m^2 = (x - a)^2 + d^2 - x^2 = a^2 + d^2 - 2a x.
Substituindo x e simplificando cuidadosamente, chega-se a
m^2 = a\,b + \frac{a\,c^2 - b\,d^2}{a - b},
portanto
m = \sqrt{\,a\,b + \frac{a\,c^2 - b\,d^2}{a - b}\,}.

Passo 5

Para a diagonal AC (comprimento n) usamos
n^2 = AC^2 = (x + b)^2 + h^2 = (x + b)^2 + d^2 - x^2 = b^2 + d^2 + 2b\,x.
Substituindo x e simplificando, obtém-se
n^2 = a\,b + \frac{a\,d^2 - b\,c^2}{a - b},
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n = \sqrt{\,a\,b + \frac{a\,d^2 - b\,c^2}{a - b}\,}.

Resposta

m = \sqrt{\,a\,b + \frac{a\,c^2 - b\,d^2}{a - b}\,}, \qquad n = \sqrt{\,a\,b + \frac{a\,d^2 - b\,c^2}{a - b}\,}.

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