Seja ABCD um trapézio cujos bases medem a e b, cujos lados não paralelos medem c e d. Prove que as diagonais deste trapézio medem
Passo 1
Vamos usar coordenadas para representar o trapézio
. Suponha que
, com
,
,
e
. Colocamos
A em ,
B em ,
D em e
C em .
Precisaremos aplicar o teorema de Pitágoras às distâncias e
e depois usar a fórmula da distância para as diagonais.
A em
B em
D em
C em
Precisaremos aplicar o teorema de Pitágoras às distâncias
Passo 2
Pelo teorema de Pitágoras em
e em
temos
Passo 3
Subtraindo a primeira equação da segunda, elimina-se
:
Expandindo,
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Passo 4
Para a diagonal
(comprimento
) usamos
Como
, obtemos
Substituindo
e simplificando cuidadosamente, chega-se a
portanto
Passo 5
Para a diagonal
(comprimento
) usamos
Substituindo
e simplificando, obtém-se
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