Quantos números inteiros existem, de 1000 a 10000, não divisíveis nem por 5 nem por 7?

Passo 1

O enunciado pede a quantidade de inteiros em [1000,10000] que não são divisíveis nem por 5 nem por 7. Vamos usar o princípio da inclusão-exclusão e a fórmula de contagem de múltiplos em um intervalo: para um divisor k, o número de múltiplos de k em [a,b] é
lfloor b/krfloor - lfloor (a-1)/krfloor.

Passo 2

Calcular o total de inteiros em [1000,10000]:
total = 10000 - 1000 + 1 = 9001

Passo 3

Calcular quantos são divisíveis por 5 em [1000,10000]:
lfloor 10000/5rfloor - lfloor 999/5rfloor = 2000 - 199 = 1801

Passo 4

Calcular quantos são divisíveis por 7 em [1000,10000]:
lfloor 10000/7rfloor - lfloor 999/7rfloor = 1428 - 142 = 1286

Passo 5

Calcular quantos são divisíveis por ambos (múltiplos de 35):
lfloor 10000/35rfloor - lfloor 999/35rfloor = 285 - 28 = 257

Passo 6

Pelo princípio da inclusão-exclusão, o total de números divisíveis por 5 ou por 7 é
1801 + 1286 - 257 = 2830

Passo 7

Portanto, o número de inteiros que não são divisíveis por 5 nem por 7 é
9001 - 2830 = 6171

Resposta

6171

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