Obtenha e esboce o caminho, juntamente com sua orientação, dado por:
z(t)=t+\frac{1}{2} i t^{3}(-1 \leqq t \leqq 2)

Passo 1

O enunciado nos dá a parametrização de um caminho no plano complexo
z(t)=t+\tfrac12\,i\,t^3,\quad -1\le t\le2.
O conteúdo envolve parametrização de curvas no plano complexo: vamos separar parte real e imaginária, identificar pontos-chave e depois esboçar a curva com sua orientação.

Passo 2

Separemos real e imaginária. Escrevendo
z(t)=x(t)+i\,y(t),
vemos que
x(t)=t,\qquad y(t)=\tfrac12\,t^3.
Logo a curva é o gráfico da função real
y=\tfrac12\,x^3
com x variando de -1 a 2.

Passo 3

Identifiquemos os pontos mais importantes:
t=-1\implies(x,y)=\bigl(-1,-\tfrac12\bigr),
t=0\implies(x,y)=(0,0),
t=1\implies(x,y)=\bigl(1,\tfrac12\bigr),
t=2\implies(x,y)=(2,4).

Passo 4

A orientação do caminho segue o sentido crescente de t. Começamos em \bigl(-1,-\tfrac12\bigr), passamos por (0,0), depois por \bigl(1,\tfrac12\bigr) e terminamos em (2,4), com setas apontando nesse sentido.

Passo 5

Esboço aproximado no plano complexo (eixo real horizontal, eixo imaginário vertical):
Im \
\uparrow \
4 \cdot \quad \bullet \left(2,4\right) \
3 \quad | \
2 \quad | \
1 \cdot \quad \bullet \left(1,\frac{1}{2}\right) \
0 \cdot \quad \bullet \left(0,0\right) \longrightarrow Re \
-1 \cdot \quad \bullet \left(-1,-\frac{1}{2}\right) \
\quad | \
-2
A curva é suave, começa em \left(-1,-\frac{1}{2}\right)), sobe lentamente perto da origem e depois cresce rapidamente até \left(2,4\right), com setas indicando o sentido de t=-1 para t=2.

Resposta

O caminho é dado por
z(t)=t+\tfrac12\,i\,t^3,\quad -1\le t\le2,
que corresponde ao gráfico de y=\tfrac12x^3 no plano complexo, orientado de \bigl(-1,-\tfrac12\bigr) até (2,4).

Exercícios de Livros Relacionados