Obtenha e esboce o caminho, juntamente com sua orientação, dado por:
Passo 1
O enunciado nos dá a parametrização de um caminho no plano complexo
O conteúdo envolve parametrização de curvas no plano complexo: vamos separar parte real e imaginária, identificar pontos-chave e depois esboçar a curva com sua orientação.
Passo 2
Separemos real e imaginária. Escrevendo
vemos que
Logo a curva é o gráfico da função real
com
variando de
a
.
Passo 3
Identifiquemos os pontos mais importantes:
Passo 4
A orientação do caminho segue o sentido crescente de
. Começamos em
, passamos por
, depois por
e terminamos em
, com setas apontando nesse sentido.
Passo 5
Esboço aproximado no plano complexo (eixo real horizontal, eixo imaginário vertical):
Im \
\uparrow \
4 \cdot \quad \bullet \left(2,4\right) \
3 \quad | \
2 \quad | \
1 \cdot \quad \bullet \left(1,\frac{1}{2}\right) \
0 \cdot \quad \bullet \left(0,0\right) \longrightarrow Re \
-1 \cdot \quad \bullet \left(-1,-\frac{1}{2}\right) \
\quad | \
-2
\uparrow \
4 \cdot \quad \bullet \left(2,4\right) \
3 \quad | \
2 \quad | \
1 \cdot \quad \bullet \left(1,\frac{1}{2}\right) \
0 \cdot \quad \bullet \left(0,0\right) \longrightarrow Re \
-1 \cdot \quad \bullet \left(-1,-\frac{1}{2}\right) \
\quad | \
-2
A curva é suave, começa em \left(-1,-\frac{1}{2}\right)), sobe lentamente perto da origem e depois cresce rapidamente até
, com setas indicando o sentido de
para
.
Resposta
O caminho é dado por
que corresponde ao gráfico de
no plano complexo, orientado de
até
.