43.6 Obtenha as fórmulas
e
para a soma de uma série aritmética.
Para obter a primeira fórmula, escreva os termos de
;
Agora escreva os termos em ordem reversa, observando que para começar com
, cada termo é obtido subtraindo
, a diferença comum, do termo anterior.
Adicionando essas duas identidades, termo a termo, e observando que todos os termos que envolvem
resultam zero, temos:
Já que há
termos idênticos à direita,
Para a segunda fórmula, substitua
na fórmula acima para obter
Passo 1
O enunciado pede para obter as fórmulas
e
para a soma dos
termos de uma progressão aritmética de primeiro termo
, último termo
e razão
. Vamos usar a ideia de escrever a soma na ordem direta e na ordem inversa e depois somá-las termo a termo.
Passo 2
Escrevemos a soma dos
termos na ordem natural:
Passo 3
Agora escrevemos a mesma soma em ordem inversa, começando em
e subtraindo
sucessivamente:
Passo 4
Somando termo a termo as duas expressões de
, cada par resulta em
e os termos em
se anulam:
Como há
pares, segue
Passo 5
Isolando
, obtemos a primeira fórmula:
Passo 6
Para chegar à segunda fórmula, substituímos
em
: