43.6 Obtenha as fórmulas Sn=n2(a1+an) e Sn=n2[2 a+(n-1) d] para a soma de uma série aritmética.
Para obter a primeira fórmula, escreva os termos de Sn;
Sn=a1+(a1+d)+(a1+2 d)+cdots+[a1+(n-1) d]
Agora escreva os termos em ordem reversa, observando que para começar com an, cada termo é obtido subtraindo d, a diferença comum, do termo anterior.
Sn=an+(an-d)+(an-2 d)+cdots+[a1-(n-1) d]
Adicionando essas duas identidades, termo a termo, e observando que todos os termos que envolvem d resultam zero, temos:
Sn+Sn=(a1+an)+(a1+an)+(a1+an)+cdots+(a1+an)
Já que há n termos idênticos à direita,
2 Sn & =n(a1+an) Sn & =n2(a1+an)
Para a segunda fórmula, substitua an=a1+(n-1) d na fórmula acima para obter
Sn & =n2[a1+a1+(n-1) d] Sn & =n2[2 a1+(n-1) d]

Passo 1

O enunciado pede para obter as fórmulas
Sn=n2l(a1+anr)
e
Sn=n2l[2a1+(n-1)dr]
para a soma dos n termos de uma progressão aritmética de primeiro termo a1, último termo an e razão d. Vamos usar a ideia de escrever a soma na ordem direta e na ordem inversa e depois somá-las termo a termo.

Passo 2

Escrevemos a soma dos n termos na ordem natural:
Sn=a1+(a1+d)+(a1+2d)+cdots+l[a1+(n-1)dr]

Passo 3

Agora escrevemos a mesma soma em ordem inversa, começando em an e subtraindo d sucessivamente:
Sn=an+(an-d)+(an-2d)+cdots+l[an-(n-1)dr]

Passo 4

Somando termo a termo as duas expressões de Sn, cada par resulta em a1+an e os termos em d se anulam:
2Sn=(a1+an)+(a1+an)+cdots+(a1+an)
Como há n pares, segue
2Sn=n,(a1+an)

Passo 5

Isolando Sn, obtemos a primeira fórmula:
Sn=n2,(a1+an)

Passo 6

Para chegar à segunda fórmula, substituímos an=a1+(n-1)d em n2(a1+an):
Sn=n2l[a1+a1+(n-1)dr] =n2l[2a1+(n-1)dr]

Resposta

Sn=n2,(a1+an)
Sn=n2l[2a1+(n-1)dr]

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