Sabendo que ( alpha, beta, gamma, de<a ) é P.A., prove que:
(de<a+3 beta)(de<a-3 beta)+(alpha+3 gamma)(alpha-3 gamma)=2(alpha de<a-9 beta gamma).

Passo 1

O enunciado diz que (alpha,beta,gamma,de<a) é progressão aritmética (P.A.), ou seja, existe uma razão r tal que
beta=alpha+r, gamma=alpha+2r, de<a=alpha+3r
Queremos provar que
(de<a+3beta)(de<a-3beta)+(alpha+3gamma)(alpha-3gamma) =2l(alphade<a-9betagammar)

Passo 2

Observe que
(de<a+3beta)(de<a-3beta)=de<a^2-9,beta^2 e (alpha+3gamma)(alpha-3gamma)=alpha^2-9,gamma^2
Logo o lado esquerdo (LHS) fica
LHS =alpha^2+de<a^2-9l(beta^2+gamma^2r)

Passo 3

Substituindo beta=alpha+r, gamma=alpha+2r e de<a=alpha+3r no LHS, temos
beta^2+gamma^2 =(alpha+r)^2+(alpha+2r)^2 =2alpha^2+6alpha r+5r^2,
alpha^2+de<a^2 =alpha^2+(alpha+3r)^2 =2alpha^2+6alpha r+9r^2
Portanto
LHS =l(2alpha^2+6alpha r+9r^2r) -9l(2alpha^2+6alpha r+5r^2r)
Fazendo a conta:
LHS =2alpha^2+6alpha r+9r^2 -18alpha^2-54alpha r-45r^2 =-16alpha^2-48alpha r-36r^2

Passo 4

Agora o lado direito (RHS) é
2l(alphade<a-9betagammar) =2l[alpha(alpha+3r)-9(alpha+r)(alpha+2r)r]
Expandindo:
alpha(alpha+3r)=alpha^2+3alpha r, (alpha+r)(alpha+2r)=alpha^2+3alpha r+2r^2,
RHS =2l[alpha^2+3alpha r-9(alpha^2+3alpha r+2r^2)r] =2l[-8alpha^2-24alpha r-18r^2r] =-16alpha^2-48alpha r-36r^2

Passo 5

Comparando, vemos que
LHS=-16alpha^2-48alpha r-36r^2 =RHS,
ou seja, a identidade proposta está comprovada.

Resposta

A igualdade
(de<a+3beta)(de<a-3beta)+(alpha+3gamma)(alpha-3gamma) =2l(alphade<a-9betagammar)
é verdadeira sempre que (alpha,beta,gamma,de<a) for P.A.

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