Obtenha 4 números reais em P.A., sabendo que sua soma é 22 e a soma de seus quadrados é 166.

Passo 1

Resumindo o enunciado, queremos quatro números reais em progressão aritmética cuja soma seja 22 e a soma dos quadrados seja 166. O conteúdo envolvido é P.A. e resolução de sistema de equações envolvendo soma e soma de quadrados.

Passo 2

Sejam a o primeiro termo e d a razão da P.A. Então os quatro termos são
a, a+d, a+2d, a+3d
A condição da soma é
a + (a+d) + (a+2d) + (a+3d) = 4a + 6d = 22,
ou seja,
2a + 3d = 11

Passo 3

A condição da soma dos quadrados é
a^2 + (a+d)^2 + (a+2d)^2 + (a+3d)^2 = 166
Expandindo os quadrados, obtemos
a^2 + (a^2+2ad+d^2) + (a^2+4ad+4d^2) + (a^2+6ad+9d^2) = 4a^2 + 12ad + 14d^2 = 166

Passo 4

Da equação 2a + 3d = 11 isolamos
a = 11 - 3d2
e substituímos em
4a^2 + 12ad + 14d^2 = 166

Passo 5

Substituindo e simplificando, chega-se a
121 + 5d^2 = 166 Longrightarrow 5d^2 = 45 Longrightarrow d^2 = 9 Longrightarrow d = pm 3

Passo 6

Para d=3,
a = 11 - 3cdot32 = 11 - 92 = 1,
logo os termos são ,1,4,7,10.
Para d=-3,
a = 11 - 3cdot(-3)2 = 11 + 92 = 10,
e os termos são ,10,7,4,1, que é a mesma P.A. em ordem decrescente.

Resposta

Os quatro números são
1,;4,;7,;10
ou, invertendo a razão,
10,;7,;4,;1

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