Obtenha 4 números reais em P.A., sabendo que sua soma é 22 e a soma de seus quadrados é 166.
Passo 1
Resumindo o enunciado, queremos quatro números reais em progressão aritmética cuja soma seja
e a soma dos quadrados seja
. O conteúdo envolvido é P.A. e resolução de sistema de equações envolvendo soma e soma de quadrados.
Passo 2
Sejam
o primeiro termo e
a razão da P.A. Então os quatro termos são
A condição da soma é
ou seja,
Passo 3
A condição da soma dos quadrados é
Expandindo os quadrados, obtemos
Passo 4
Da equação
isolamos
e substituímos em
Passo 5
Substituindo e simplificando, chega-se a
Passo 6
Para
,
logo os termos são
.
Para ,
Para
e os termos são
, que é a mesma P.A. em ordem decrescente.
Resposta
Os quatro números são
ou, invertendo a razão,