Obtenha o potencial no primeiro quadrante do plano x y entre os eixos (que apresentam potencial de 220 V ) e a hipérbole x y=1 (com um potencial de 110 V ).

Passo 1

O enunciado pede o potencial elétrico V(x,y) no primeiro quadrante ( x\ge0, y\ge0) satisfazendo a equação de Laplace
\frac{\partial^2 V}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 V}{\partial y^2} = 0
com as condições de contorno Dirichlet
V(x,0)=220,\quad V(0,y)=220,
e
V(x,y)=110\quad\text{quando }xy=1.
O conteúdo envolvido é a solução da equação de Laplace em coordenadas cartesianas usando simetrias do contorno.

Passo 2

Observamos que as duas fronteiras de potencial igual (os eixos cartesianos) correspondem a xy=0, e a terceira é a hipérbole xy=1. Isso sugere tentar uma solução que dependa apenas da combinação u=xy, ou seja
V(x,y)=f(u)=f(xy).
Assim só teremos uma variável efetiva u.

Passo 3

Vamos impor que V(x,y)=f(u) satisfaça Laplace. Calculamos
\frac{\partial V}{\partial x} =f'(u)\,\frac{\partial u}{\partial x} =f'(u)\,y,
\frac{\partial^2 V}{\partial x^2} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(f'(u)\,y\bigr) =f''(u)\,y\cdot \frac{\partial u}{\partial x} =f''(u)\,y^2,
e, de modo análogo,
\frac{\partial^2 V}{\partial y^2} =f''(u)\,x^2.
Logo a equação de Laplace vira
\frac{\partial^2 V}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 V}{\partial y^2} =f''(u)\,(x^2+y^2)=0.
Para isso valer em todo o primeiro quadrante (onde x^2+y^2>0), precisamos ter
f''(u)=0.
Portanto f é uma função afim de u:
f(u)=A+B\,u.
Assim
V(x,y)=A+B\,xy.

Passo 4

Agora impomos as condições de contorno:
  1. Nos eixos, xy=0, deve valer V=220. Logo
V(x,0)=A+B\cdot 0= A = 220.
  1. Na hipérbole xy=1, deve valer V=110. Logo
V\bigl(x,y\bigr)=220 + B\cdot1 =110 \quad\Longrightarrow\quad B = 110-220 = -110.

Passo 5

Concluímos que a solução do problema é
V(x,y)=220 \;-\;110\,xy.

Resposta

V(x,y)=220 \;-\;110\,x\,y.

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