Obtenha o potencial no primeiro quadrante do plano
entre os eixos (que apresentam potencial de 220 V ) e a hipérbole
(com um potencial de 110 V ).
Passo 1
O enunciado pede o potencial elétrico
no primeiro quadrante (
,
) satisfazendo a equação de Laplace
com as condições de contorno Dirichlet
e
O conteúdo envolvido é a solução da equação de Laplace em coordenadas cartesianas usando simetrias do contorno.
Passo 2
Observamos que as duas fronteiras de potencial igual (os eixos cartesianos) correspondem a
, e a terceira é a hipérbole
. Isso sugere tentar uma solução que dependa apenas da combinação
, ou seja
Assim só teremos uma variável efetiva
.
Passo 3
Vamos impor que
satisfaça Laplace. Calculamos
e, de modo análogo,
Logo a equação de Laplace vira
Para isso valer em todo o primeiro quadrante (onde
), precisamos ter
Portanto
é uma função afim de
:
Assim
Passo 4
Agora impomos as condições de contorno:
- Nos eixos,
, deve valer . Logo
- Na hipérbole
, deve valer . Logo
Passo 5
Concluímos que a solução do problema é