Obtenha quatro números, a, b, c, d, sabendo que:
l) a+d=32
II) b+c=24
III) (a, b, c) é P.G.
IV) (b, c, d) é P.A.

Passo 1

O enunciado pede quatro números (a,b,c,d) tais que
;(a,b,c) está em progressão geométrica (P.G.),
;(b,c,d) está em progressão aritmética (P.A.),
além de
a + d = 32
e
b + c = 24
Vamos usar as definições de P.G. e P.A. e as igualdades dadas.

Passo 2

Em uma P.G. de três termos (a,b,c) vale
b^2 = a,c,
ou seja
a = b^2c
Em uma P.A. de três termos (b,c,d) vale
c - b = d - c Longrightarrow d = 2c - b

Passo 3

Temos também as somas
b + c = 24
e
a + d = 32
Substituindo a=b^2c e d=2c - b em a + d = 32, obtém-se
b^2c + (2c - b) = 32
Multiplicando por c,
b^2 + 2c^2 - b cdot c - 32 c = 0

Passo 4

Como b + c = 24, temos b = 24 - c. Substituindo na equação do passo anterior:
(24 - c)^2 + 2c^2 - c(24 - c) - 32c = 0
Expandindo e somando termos semelhantes chega-se a
4c^2 - 104c + 576 = 0 Longrightarrow c^2 - 26c + 144 = 0
O discriminante é De<a = 26^2 - 4cdot144 =100, logo
c = 26 pm 102 ;Longrightarrow; c = 18 ou c = 8

Passo 5

Para cada valor de c achamos b,c,a,d:
1) Se c=18 então b=24-18=6,
a = b^2c = 3618 = 2, d = 2c - b = 36 - 6 = 30
2) Se c=8 então b=24-8=16,
a = b^2c = 2568 = 32, d = 2c - b = 16 - 16 = 0

Resposta

As duas soluções são
(a,b,c,d) = (2,,6,,18,,30) ou (a,b,c,d) = (32,,16,,8,,0)

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