9.5.10 Obtenha uma solução de série da equação hipergeométrica
Teste sua solução para convergência.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação hipergeométrica de Gauss
e pede uma solução em série em torno de
, além do teste de convergência. Vamos aplicar o método de Frobenius, tomando
Passo 2
Substituindo em cada termo e agrupando as potências de
e
, obtemos para o coeficiente de
a condição indicial
Passo 3
Para a raiz
a relação de recorrência sai
e com
temos
onde
. Logo a primeira solução em série é
Passo 4
Para a outra raiz
obtemos analogamente
Passo 5
A solução geral da equação é
Passo 6
O teste de convergência da série hipergeométrica
indica que ela converge absolutamente para
No ponto
a série converge se
, e diverge para
.
Resposta
com convergência para
(e em
se
).