9.5.10 Obtenha uma solução de série da equação hipergeométrica
x(x-1) y^prime prime+[(1+a+b) x-c] y^prime+a b y=0
Teste sua solução para convergência.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação hipergeométrica de Gauss
x(x-1)y''+[(1+a+b)x - c]y' + ab,y = 0
e pede uma solução em série em torno de x=0, além do teste de convergência. Vamos aplicar o método de Frobenius, tomando
y(x)=sumn=0^inftyAn,x^n+r

Passo 2

Substituindo em cada termo e agrupando as potências de x^n+r-1 e x^n+r, obtemos para o coeficiente de x^r-1 a condição indicial
-,A0,r,(r-1+c)=0 Longrightarrow r1=0,;;r2=1-c

Passo 3

Para a raiz r=r1=0 a relação de recorrência sai
An+1 = (n+a)(n+b)(n+1)(n+c),An,
e com A0=1 temos
An = (a)n,(b)n(c)n;n!,
onde (q)n=q(q+1)cdots(q+n-1). Logo a primeira solução em série é
y1(x) = sumn=0^infty (a)n,(b)n(c)n,n!;x^n ;=;2F1(a,b;c;x)

Passo 4

Para a outra raiz r=r2=1-c obtemos analogamente
y2(x) = x^,1-c sumn=0^infty (a-c+1)n,(b-c+1)n(2-c)n;n!;x^n ;=;x^1-c;2F1(a-c+1,b-c+1;2-c;x)

Passo 5

A solução geral da equação é
y(x) = C1,2F1(a,b;c;x) ;+; C2,x^1-c;2F1(a-c+1,b-c+1;2-c;x)

Passo 6

O teste de convergência da série hipergeométrica 2F1 indica que ela converge absolutamente para
|x|<1
No ponto x=1 a série converge se Re(c-a-b)>0, e diverge para |x|>1.

Resposta

y(x) = C1,2F1(a,b;c;x) ;+; C2,x^1-c;2F1(a-c+1,b-c+1;2-c;x),
com convergência para lvert xrvert<1 (e em x=1 se Re(c-a-b)>0).

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