9.5.10 Obtenha uma solução de série da equação hipergeométrica
x(x-1) y^{\prime \prime}+[(1+a+b) x-c] y^{\prime}+a b y=0 .
Teste sua solução para convergência.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação hipergeométrica de Gauss
x(x-1)y''+[(1+a+b)x - c]y' + ab\,y = 0
e pede uma solução em série em torno de x=0, além do teste de convergência. Vamos aplicar o método de Frobenius, tomando
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty}A_n\,x^{n+r}.

Passo 2

Substituindo em cada termo e agrupando as potências de x^{n+r-1} e x^{n+r}, obtemos para o coeficiente de x^{r-1} a condição indicial
-\,A_0\,r\,(r-1+c)=0 \quad\Longrightarrow\quad r_1=0,\;\;r_2=1-c.

Passo 3

Para a raiz r=r_1=0 a relação de recorrência sai
A_{n+1} = \frac{(n+a)(n+b)}{(n+1)(n+c)}\,A_n,
e com A_0=1 temos
A_n = \frac{(a)_n\,(b)_n}{\text{(c)}_n\;n!},
onde (q)_n=q(q+1)\cdots(q+n-1). Logo a primeira solução em série é
y_1(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(a)_n\,(b)_n}{\text{(c)}_n\,n!}\;x^n \;=\;{}_2F_1(a,b;c;x).

Passo 4

Para a outra raiz r=r_2=1-c obtemos analogamente
y_2(x) = x^{\,1-c} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(a-c+1)_n\,(b-c+1)_n}{(2-c)_n\;n!}\;x^n \;=\;x^{1-c}\;{}_2F_1(a-c+1,b-c+1;2-c;x).

Passo 5

A solução geral da equação é
y(x) = C_1\,{}_2F_1(a,b;c;x) \;+\; C_2\,x^{1-c}\;{}_2F_1(a-c+1,b-c+1;2-c;x).

Passo 6

O teste de convergência da série hipergeométrica {}_2F_1 indica que ela converge absolutamente para
|x|<1.
No ponto x=1 a série converge se \Re(c-a-b)>0, e diverge para |x|>1.

Resposta

y(x) = C_1\,{}_2F_1(a,b;c;x) \;+\; C_2\,x^{1-c}\;{}_2F_1(a-c+1,b-c+1;2-c;x),
com convergência para \lvert x\rvert<1 (e em x=1 se \Re(c-a-b)>0).

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