Obtenha uma P.A. de 5 termos, sabendo que sua soma é 25 e a soma de seus cubos é 3025.

Solução

Utilizando a notação ( x-2 r, x-r, x, x+r, x+2 r ), temos:
l (x-2 r)+(x-r)+x+(x+r)+(x+2 r)=25 (x-2 r)^3+(x-r)^3+x^3+(x+r)^3+(x+2 r)^3=3025
De (1) vem: 5 x=25, isto é, x=5.
De (2) vem:
(x^3-6 x^2 r+12 x r^2-8 r^3)+(x^3-3 x^2 r+3 x r^2-r^3)+x^3+(x^3+3 x^2 r+3 x r^2+ +r^3)+(x^3+6 x^2 r+12 x r^2+8 r^3)=3025
isto é: 5 x^3+30 x r^2=3025.
Lembrando que x=5, temos:
5 cdot 5^3+30 cdot 5 cdot r^2=3025 Rightarrow 150 r^2=2400 Rightarrow r^2=16 Rightarrow r= pm 4.
Portanto a P.A. é: (-3,1,5,9,13) ou (13,9,5,1,-3).

Passo 1

O enunciado pede uma P.A. de 5 termos cuja soma é 25 e a soma dos cubos desses termos é 3025. Vamos usar a representação centrada no termo médio x e na razão r, de modo que os termos sejam
x-2r,;x-r,;x,;x+r,;x+2r

Passo 2

Escrevemos a condição da soma dos 5 termos:
(x-2r)+(x-r)+x+(x+r)+(x+2r)=25
Os termos em r cancelam por simetria, sobrando 5x=25. Logo,
x=5

Passo 3

Agora impomos a soma dos cubos:
(x-2r)^3+(x-r)^3+x^3+(x+r)^3+(x+2r)^3=3025
Ao expandir e somar, todos os termos com potência ímpar de r se anulam, restando
5x^3 + 30,x,r^2 = 3025
Substituindo x=5 obtém-se
5cdot5^3 + 30cdot5,r^2 = 3025 Longrightarrow 150,r^2 = 2400 Longrightarrow r^2 = 16 Longrightarrow r = pm 4

Passo 4

Para r=4, os termos da P.A. são
5-2cdot4,;5-4,;5,;5+4,;5+2cdot4 ;Longrightarrow; (-3,1,5,9,13)
Para r=-4, obtemos a mesma P.A. escrita na ordem inversa:
(13,9,5,1,-3).

Resposta

(-3,1,5,9,13)
(13,9,5,1,-3)

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