Prove que, se uma P.A. apresenta am=x, an=y e ap=z, então verifica-se a relação:
(n-p) cdot x+(p-m) cdot y+(m-n) cdot z=0.

Passo 1

O enunciado diz que (ak)k>=1 é uma P.A. e que
am = x, an = y, ap = z
Queremos provar a relação
(n-p),x ;+;(p-m),y;+;(m-n),z ;=;0
Para isso vamos usar a fórmula do termo geral de uma P.A. e substituir x,y,z.

Passo 2

Numa P.A. com primeiro termo a1 e razão d, o termo geral é
ak = a1 + (k-1),d

Passo 3

Em particular, dos dados temos
x = am = a1 + (m-1),d,
y = an = a1 + (n-1),d,
z = ap = a1 + (p-1),d

Passo 4

Considere agora a combinação
(n-p),x + (p-m),y + (m-n),z
Substituindo x,y,z obtemos
(n-p)l[a1 + (m-1)dr] +(p-m)l[a1 + (n-1)dr] +(m-n)l[a1 + (p-1)dr]

Passo 5

Agrupando os coeficientes de a1 e de d na soma acima temos
a1l[(n-p)+(p-m)+(m-n)r] +dl[(n-p)(m-1)+(p-m)(n-1)+(m-n)(p-1)r]
Note que
(n-p)+(p-m)+(m-n)=0
e que, ao desenvolver o segundo colchete, cancelam-se todos os termos pois cada produto aparece com sinal oposto. Logo toda a expressão é zero, isto é,
(n-p),x + (p-m),y + (m-n),z = 0

Resposta

Provado que (n-p)x+(p-m)y+(m-n)z=0.

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