O que ocorre com a superfície de uma esfera quando o raio aumenta 200 % ? E quando aumenta 150 % ? E quando diminui 25 % ?

Passo 1

O enunciado pergunta como varia a área de uma esfera quando o raio sofre alterações percentuais. O conteúdo necessário é a fórmula da área de uma esfera e o conceito de fator de escala:
S = 4pi r^2,
onde r é o raio. Se o raio passa a ser r' = k,r, então a nova área é
S' = 4pi (k,r)^2 = k^2,S

Passo 2

Em termos percentuais, se o raio aumenta (ou diminui) em p%, o fator de escala é
k = 1 + p100
(para aumento toma-se p>0, para redução p<0). A variação percentual da área é
S'-SStimes 100% = (k^2 - 1)times 100%

Passo 3

Para aumento de 200% no raio temos
k = 1 + 200100 = 3,
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S' = 3^2,S = 9,S
e a área aumenta em
(9 - 1)times 100% = 800%

Passo 4

Para aumento de 150% no raio temos
k = 1 + 150100 = 2,5,
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S' = (2,5)^2,S = 6,25,S
e a área aumenta em
(6,25 - 1)times 100% = 525%

Passo 5

Para diminuição de 25% no raio temos
k = 1 - 25100 = 0,75,
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S' = (0,75)^2,S = 0,5625,S
e a área diminui em
(0,5625 - 1)times 100% = -43,75%,
isto é, redução de 43,75%.

Resposta

Quando o raio aumenta 200%, a área aumenta 800%.
Quando o raio aumenta 150%, a área aumenta 525%.
Quando o raio diminui 25%, a área diminui 43,75%.

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