O perímetro de um retângulo é de 30 m e a diagonal mede 5 raiz5 m. Determine os lados desse retângulo.

Passo 1

O enunciado dá um retângulo de lados a e b com perímetro de 30,m e diagonal de 5raiz5,m. Vamos usar a fórmula do perímetro de retângulo e o teorema de Pitágoras para encontrar a e b.

Passo 2

Da definição do perímetro de um retângulo,
2,(a+b)=30
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a+b=15

Passo 3

Pelo teorema de Pitágoras, a diagonal d satisfaz d^2 = a^2 + b^2. Como d = 5raiz5, temos
a^2 + b^2 = (5raiz5)^2 = 25 times 5 = 125

Passo 4

Para encontrar o produto ab, usamos a identidade
(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab
Substituindo a+b=15 e a^2+b^2=125,
15^2 = 125 + 2ab Longrightarrow 225 = 125 + 2ab Longrightarrow 2ab = 100 Longrightarrow ab = 50

Passo 5

Os valores de a e b são as raízes da equação
t^2 - (a+b),t + ab = 0 Longrightarrow t^2 - 15t + 50 = 0
O discriminante é
De<a = 15^2 - 4cdot1cdot50 = 225 - 200 = 25,
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t = 15 pm raiz252 = 15 pm 52,
resultando em t = 10 ou t = 5.

Resposta

Os lados do retângulo medem 5,m e 10,m.

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