OEM - Sejam a e b in0,1,2, ldots, 9. Determine os valores possíveis de (a-b)^2 para que 23 a 1992 b seja divisível por 45.
a) 0 e 1
b) 0 e 9
c) 4 e 1
d) 4 e 9
e) 4 e 16

Passo 1

O enunciado pede para achar os valores possíveis de (a-b)^2 em que o número de sete dígitos “ 23a 1992b” é divisível por 45. Como 45=5cdot 9, vamos usar os testes de divisibilidade por 5 (último dígito) e por 9 (soma dos dígitos).

Passo 2

Para ser divisível por 5, o último dígito b deve ser ou 0 ou 5. Logo
b in 0,5

Passo 3

Para ser divisível por 9, a soma dos dígitos deve ser múltipla de 9. A soma dos dígitos de “ 23a 1992b” é
S = 2 + 3 + a + 1 + 9 + 9 + 2 + b = 26 + a + b
Exigimos S equiv 0 pmod9. Como 26 equiv 8 pmod9, isso dá
26 + a + b equiv 0 pmod9 Longrightarrow a + b equiv 1 pmod9

Passo 4

Analisamos os dois casos para b:
Caso 1: b=0.
Então a + 0 equiv 1 pmod 9, o que força a=1 (único dígito em 0,dots,9 congruente a 1 módulo 9).
Caso 2: b=5.
Então a + 5 equiv 1 pmod 9, isto é a equiv -4 equiv 5 pmod 9, logo a=5.
Assim, os pares (a,b) válidos são (1,0) e (5,5).

Passo 5

Calculamos (a-b)^2 para cada par:
Para (a,b)=(1,0):
(a-b)^2 = (1-0)^2 = 1
Para (a,b)=(5,5):
(a-b)^2 = (5-5)^2 = 0

Resposta

Os valores possíveis de (a-b)^2 são 0 e 1.

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