(Olimpiada da Bélgica-01) Em um programa de TV très homens escolhem, independentemente, suas mulheres favoritas entre très mulheres e, ao mesmo tempo, estas très mulheres escolhem seus homens favoritos. Se um homem e uma mulher escolhem um ao outro, então eles ganham uma viagem. Qual a probabilidade que o programa distribua três viagens?
a) 0,2%
b) 0,8 \%
c) 2,5 \%
d) 4,0 \%
e) 16,7 \%

Passo 1

O enunciado descreve que três homens e três mulheres fazem escolhas independentes e uniformes entre os do sexo oposto. Se um homem e uma mulher se escolherem mutuamente, formam um par que “ganha” uma viagem. Queremos a probabilidade de ocorrerem exatamente três pares mutuais, ou seja, todos os homens e todas as mulheres formarem um emparelhamento perfeito por favor.

Passo 2

Modelagem das escolhas dos homens. Cada homem escolhe uma das três mulheres com probabilidade 1/3, independentemente. Para que haja três pares mutuamente escolhidos, cada homem deve escolher uma mulher distinta (caso contrário não se consegue três pares distintos). Logo, as escolhas dos homens têm de formar uma permutação de \{1,2,3\}.
O número de sequências de escolhas possíveis para os homens é 3^3=27.
O número de permutações de três elementos é 3!=6.
Portanto
P(\text{homens formam permutação})=\frac{6}{27}=\frac{2}{9}.çã

Passo 3

Dado que os homens formaram uma permutação S, para ter três pares mutuamente escolhidos as mulheres devem escolher exatamente a permutação inversa S^{-1}. As escolhas das mulheres também são independentes e uniformes, totalizando 3^3=27 sequências igualmente prováveis, e apenas uma delas é S^{-1}.
Logo
P(\text{mulheres escolhem }S^{-1}\mid\text{homens formaram }S) =\frac{1}{27}.

Passo 4

Como homens e mulheres escolhem independentemente, a probabilidade conjunta de todos os homens formarem permutação e as mulheres escolherem a inversa é
P(3\text{ viagens}) =\frac{2}{9}\times\frac{1}{27} =\frac{2}{243} \approx0,823\%.

Resposta

b) 0,8\%

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