(Olimpíada de Campina Grande-2000) Se x, y, z são números reais positivos, o produto (x+y+z)^{-1}\left(x^{-1}+y^{-1}+z^{-1}\right)(x y+y z+z x)^{-1}\left((x y)^{-1}+(y z)^{-1}+(z x)^{-1}\right) é igual a:
A) x^{-2} y^{-2} z^{-2}
B) x^{-2}+y^{-2}+z^{-2}
C) (x+y+z)^{-2}
D) \frac{1}{x y z}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar o produto
P = (x+y+z)^{-1}\,\bigl(x^{-1}+y^{-1}+z^{-1}\bigr)\,(xy+yz+zx)^{-1}\,\bigl((xy)^{-1}+(yz)^{-1}+(zx)^{-1}\bigr),
onde x,y,z>0. Vamos usar identidades de somas simétricas e recíprocas para reescrever os termos.

Passo 2

Observe que
\frac1x+\frac1y+\frac1z = \frac{xy+yz+zx}{xyz},
e
\frac1{xy}+\frac1{yz}+\frac1{zx} = \frac{x+y+z}{xyz}.

Passo 3

Substituindo essas expressões em P temos
P = \frac1{x+y+z}\,\frac{xy+yz+zx}{xyz}\,\frac1{xy+yz+zx}\,\frac{x+y+z}{xyz}.
Agora cancelam-se x+y+z e xy+yz+zx, restando
P = \frac1{(xyz)^2} = x^{-2}y^{-2}z^{-2}.

Resposta

x^{-2}y^{-2}z^{-2}

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