(Olimpiada do Ceará-84) Sejam a e b números reais tais que a \cdot b=1. Mostre que o produto \left(a-\frac{1}{a}\right) \cdot\left(b+\frac{1}{b}\right) é igual a a^{2}-b^{2}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para a,b\in\mathbb{R} com a\cdot b=1, vale
\bigl(a-\tfrac{1}{a}\bigr)\,\bigl(b+\tfrac{1}{b}\bigr) = a^{2}-b^{2}.
O conteúdo é manipulação algébrica usando a propriedade do inverso multiplicativo.

Passo 2

Como a\cdot b=1, temos
b=\frac{1}{a}.

Passo 3

Substituímos b=\tfrac{1}{a} em cada fator:
a-\frac{1}{a} \qquad\text{e}\qquad b+\frac{1}{b} =\frac{1}{a}+a.

Passo 4

O produto fica
\bigl(a-\tfrac{1}{a}\bigr)\,\bigl(a+\tfrac{1}{a}\bigr)
que é da forma “diferença vezes soma”, isto é, diferença de quadrados.

Passo 5

Aplicando a identidade \,(X-Y)(X+Y)=X^{2}-Y^{2} com X=a e Y=\tfrac{1}{a}, obtemos
a^{2}-\frac{1}{a^{2}}.
Como b^{2}=(\tfrac{1}{a})^{2}=\tfrac{1}{a^{2}}, segue
a^{2}-\frac{1}{a^{2}}=a^{2}-b^{2}.

Resposta

\bigl(a-\tfrac{1}{a}\bigr)\,\bigl(b+\tfrac{1}{b}\bigr) = a^{2}-b^{2}.

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