e AC são duas cordas de medidas iguais, pertencentes a um círculo. Uma corda AD intercepta a corda BC num ponto P. Prove que os triângulos A B D e A P B são semelhantes.
Passo 1
Resumindo o que temos: num mesmo círculo, as cordas AB e AC são iguais (AB=AC), e a corda AD corta a corda BC em P. Queremos mostrar que os triângulos ABD e APB são semelhantes.
Para isso, basta provar que eles têm dois pares de ângulos congruentes (critério AA).
Passo 2
Como AB=AC, os arcos correspondentes também são iguais:
arco(AB);=;arco(AC)
Dessa igualdade de arcos segue que quaisquer ângulos inscritos que interceptem esses arcos são iguais. Em particular,
ang<= ADB ;=; ang<= ABC,
pois ang<= ADB intercepta o arco AB e ang<= ABC intercepta o arco AC.
Passo 3
Agora usamos a medida de um ângulo formado por duas cordas que se intersectam num ponto interior ao círculo:
ang<= APB = tfrac12l(arco(AB)+arco(DC)r)
Mas como arco(AB)=arco(AC), temos
arco(AB)+arco(DC) = arco(AC)+arco(DC) = arco(ADC)
Logo
ang<= APB = tfrac12,arco(ADC) = ang<= ABC,
pois ang<= ABC é ângulo inscrito que intercepta o arco ADC.