AB e AC são duas cordas de medidas iguais, pertencentes a um círculo. Uma corda AD intercepta a corda BC num ponto P. Prove que os triângulos A B D e A P B são semelhantes.

Passo 1

Resumindo o que temos: num mesmo círculo, as cordas AB e AC são iguais ( AB=AC), e a corda AD corta a corda BC em P. Queremos mostrar que os triângulos ABD e APB são semelhantes.
Para isso, basta provar que eles têm dois pares de ângulos congruentes (critério AA).

Passo 2

Como AB=AC, os arcos correspondentes também são iguais:
arco(AB);=;arco(AC)
Dessa igualdade de arcos segue que quaisquer ângulos inscritos que interceptem esses arcos são iguais. Em particular,
ang<= ADB ;=; ang<= ABC,
pois ang<= ADB intercepta o arco AB e ang<= ABC intercepta o arco AC.

Passo 3

Agora usamos a medida de um ângulo formado por duas cordas que se intersectam num ponto interior ao círculo:
ang<= APB = tfrac12l(arco(AB)+arco(DC)r)
Mas como arco(AB)=arco(AC), temos
arco(AB)+arco(DC) = arco(AC)+arco(DC) = arco(ADC)
Logo
ang<= APB = tfrac12,arco(ADC) = ang<= ABC,
pois ang<= ABC é ângulo inscrito que intercepta o arco ADC.

Passo 4

Reunindo resultados:
ang<= ADB=ang<= ABC e ang<= APB=ang<= ABC ;Longrightarrow; ang<= ADB=ang<= APB
Além disso, os dois triângulos compartilham o ângulo em A:
ang<= BAD=ang<= BAP
Portanto eles têm dois pares de ângulos iguais:
ang<= BAD=ang<= BAP e ang<= ADB=ang<= APB,
logo, por AA, os triângulos ABD e APB são semelhantes.

Resposta

Os triângulos ABD e APB são semelhantes pelo critério AA.

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