Um plano secciona uma pirâmide onde uma de suas arestas mede 12 cm . Sendo esse plano paralelo à base da pirâmide e
a razão entre os volumes da pirâmide menor e do tronco de pirâmide, determine as medidas dos segmentos em que a aresta fica dividida por esse plano.
Passo 1
O enunciado diz que temos uma pirâmide cuja aresta lateral mede
. Um plano, paralelo à base, corta essa aresta, dividindo-a em dois segmentos. Seja a pirâmide menor (acima do plano) e o tronco de pirâmide (abaixo do plano). Sabemos que a razão entre os volumes da pirâmide menor e do tronco é
. O conteúdo principal é usar semelhança de sólidos para relacionar comprimentos de arestas com razões de volumes.
Passo 2
Quando um plano é paralelo à base de uma pirâmide, a pirâmide formada acima do plano é semelhante à pirâmide original. Se chamarmos de
o fator de escala linear (relação entre aresta da pirâmide menor e da pirâmide original), então o segmento superior da aresta mede
e o segmento inferior mede
.
Pela propriedade de volumes em sólidos semelhantes, o volume da pirâmide menor é
Pela propriedade de volumes em sólidos semelhantes, o volume da pirâmide menor é
onde
é o volume da pirâmide inteira. O tronco de pirâmide tem volume
A razão dada no enunciado é
Passo 3
Agora resolvemos a equação
Multiplicando em cruz:
Logo, o segmento superior da aresta mede
e o segmento inferior mede
Resposta
O plano divide a aresta de
em dois segmentos com medidas