Um plano secciona uma pirâmide onde uma de suas arestas mede 12 cm . Sendo esse plano paralelo à base da pirâmide e 35 a razão entre os volumes da pirâmide menor e do tronco de pirâmide, determine as medidas dos segmentos em que a aresta fica dividida por esse plano.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma pirâmide cuja aresta lateral mede 12 cm. Um plano, paralelo à base, corta essa aresta, dividindo-a em dois segmentos. Seja a pirâmide menor (acima do plano) e o tronco de pirâmide (abaixo do plano). Sabemos que a razão entre os volumes da pirâmide menor e do tronco é tfrac35. O conteúdo principal é usar semelhança de sólidos para relacionar comprimentos de arestas com razões de volumes.

Passo 2

Quando um plano é paralelo à base de uma pirâmide, a pirâmide formada acima do plano é semelhante à pirâmide original. Se chamarmos de k o fator de escala linear (relação entre aresta da pirâmide menor e da pirâmide original), então o segmento superior da aresta mede 12k e o segmento inferior mede 12-12k.
Pela propriedade de volumes em sólidos semelhantes, o volume da pirâmide menor é
Vmenor = k^3,Vtotal,
onde Vtotal é o volume da pirâmide inteira. O tronco de pirâmide tem volume
Vtronco = Vtotal - Vmenor = (1 - k^3),Vtotal
A razão dada no enunciado é
VmenorVtronco = k^3,Vtotal(1 - k^3),Vtotal = k^31 - k^3 = 35

Passo 3

Agora resolvemos a equação
k^31 - k^3 = 35
Multiplicando em cruz:
5,k^3 = 3,(1 - k^3) Longrightarrow 5k^3 = 3 - 3k^3 Longrightarrow 8k^3 = 3 Longrightarrow k^3 = 38 Longrightarrow k = raiz[3]38
Logo, o segmento superior da aresta mede
12k = 12raiz[3]38 = 12cdotraiz[3]32 = 6raiz[3]3,cm,
e o segmento inferior mede
12 - 6raiz[3]3,cm

Resposta

O plano divide a aresta de 12 cm em dois segmentos com medidas
6raiz[3]3,cm e 12 - 6raiz[3]3,cm

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