Prove que, se a altura de um tronco de cone é igual a quatro vezes a diferença dos raios das bases, o volume desse tronco é igual à diferença dos volumes de duas esferas cujos raios são os raios das bases do tronco de cone.
Passo 1
Vamos resumir. Temos um tronco de cone de raios das bases
(base maior) e
(base menor) e altura
Queremos mostrar que o volume desse tronco de cone é igual à diferença dos volumes de duas esferas de raios
e
.
Para isso, vamos usar:
Para isso, vamos usar:
- Fórmula do volume do tronco de cone.
- Fórmula do volume de uma esfera.
- Álgebra (diferença de cubos).
Passo 2
A fórmula do volume de um tronco de cone de altura
e raios das bases
e
é
Como
, substituímos:
Passo 3
Recordando a fatoração da diferença de cubos, temos
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Passo 4
A fórmula do volume de uma esfera de raio
é
Portanto, a diferença dos volumes das esferas de raios
e
é
que coincide exatamente com
.
Resposta
Como mostraram os cálculos acima, sob a condição
, o volume do tronco de cone
é igual à diferença dos volumes das esferas de raios
e
.