Prove que, se a altura de um tronco de cone é igual a quatro vezes a diferença dos raios das bases, o volume desse tronco é igual à diferença dos volumes de duas esferas cujos raios são os raios das bases do tronco de cone.

Passo 1

Vamos resumir. Temos um tronco de cone de raios das bases R (base maior) e r (base menor) e altura
h = 4l(R - rr)
Queremos mostrar que o volume desse tronco de cone é igual à diferença dos volumes de duas esferas de raios R e r.
Para isso, vamos usar:
  1. Fórmula do volume do tronco de cone.
  2. Fórmula do volume de uma esfera.
  3. Álgebra (diferença de cubos).

Passo 2

A fórmula do volume de um tronco de cone de altura h e raios das bases R e r é
Vtronco = pi ,h3,l(R^2 + R,r + r^2r)
Como h = 4(R - r), substituímos:
Vtronco = pi3,l[4(R - r)r],l(R^2 + R,r + r^2r) = 4pi3,(R - r),(R^2 + R,r + r^2)

Passo 3

Recordando a fatoração da diferença de cubos, temos
(R - r),(R^2 + R,r + r^2) = R^3 - r^3
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Vtronco = 4pi3,l(R^3 - r^3r)

Passo 4

A fórmula do volume de uma esfera de raio a é
Vesfera(a) = 4pi3,a^3
Portanto, a diferença dos volumes das esferas de raios R e r é
Vesfera(R) - Vesfera(r) = 4pi3,R^3 ;-;4pi3,r^3 = 4pi3,(R^3-r^3),
que coincide exatamente com Vtronco.

Resposta

Como mostraram os cálculos acima, sob a condição h=4(R-r), o volume do tronco de cone
Vtronco = 4pi3,(R^3-r^3)
é igual à diferença dos volumes das esferas de raios R e r.

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