Pode um setor circular coincidir com um segmento circular? Cite o caso.

Passo 1

O enunciado pergunta se existe alguma situação em que um setor circular e um segmento circular definam exatamente a mesma região no plano. O conteúdo envolvido é geometria de círculos, mais especificamente as fórmulas de área de setor e de segmento circular.

Passo 2

Vamos recordar as definições e fórmulas de área:
– Um setor circular de raio R e ângulo central theta (em radianos) tem área
Asetor = tfrac12,R^2,theta
– Um segmento circular definido pelo mesmo ângulo central theta tem área
Asegmento = tfrac12,R^2,l(theta - sinthetar)

Passo 3

Para que o setor e o segmento coincidam, suas áreas devem ser iguais, ou seja:
Asetor ;=; Asegmento Longrightarrow tfrac12,R^2,theta ;=; tfrac12,R^2,(theta - sintheta)

Passo 4

Simplificando a igualdade:
theta = theta - sintheta Longrightarrow sintheta = 0
As soluções em (0,2pi) para sintheta=0 são theta=pi (o caso theta=0 é degenerado). Portanto o único ângulo não trivial é theta=pi radianos, ou seja, 180^circ.

Passo 5

Quando theta=pi temos um setor de 180^circ, cujo “lado” reto formado pelas duas raias é exatamente um diâmetro. Esse setor de 180^circ coincide com o segmento circular determinado por esse mesmo diâmetro, ambos descrevendo uma semicircunferência.

Resposta

Sim. O setor circular coincide com o segmento circular apenas no caso de um ângulo central de pi radianos ( 180^circ), ou seja, ambos delimitam exatamente a mesma semicircunferência.

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