Pode um setor circular coincidir com um segmento circular? Cite o caso.
Passo 1
O enunciado pergunta se existe alguma situação em que um setor circular e um segmento circular definam exatamente a mesma região no plano. O conteúdo envolvido é geometria de círculos, mais especificamente as fórmulas de área de setor e de segmento circular.
Passo 2
Vamos recordar as definições e fórmulas de área:
– Um setor circular de raio e ângulo central
(em radianos) tem área
– Um setor circular de raio
– Um segmento circular definido pelo mesmo ângulo central
tem área
Passo 3
Para que o setor e o segmento coincidam, suas áreas devem ser iguais, ou seja:
Passo 4
Simplificando a igualdade:
As soluções em
para
são
(o caso
é degenerado). Portanto o único ângulo não trivial é
radianos, ou seja,
.
Passo 5
Quando
temos um setor de
, cujo “lado” reto formado pelas duas raias é exatamente um diâmetro. Esse setor de
coincide com o segmento circular determinado por esse mesmo diâmetro, ambos descrevendo uma semicircunferência.
Resposta
Sim. O setor circular coincide com o segmento circular apenas no caso de um ângulo central de
radianos (
), ou seja, ambos delimitam exatamente a mesma semicircunferência.