3.2.22 Poderíamos pedir um vetor A^-1, um inverso de um dado vetor A no sentido de que
A cdot A^-1=A^-1 cdot A=1
Mostre que essa relação não é suficiente para definir A^-1 unicamente; então, A teria um número infinito de inversos.

Passo 1

O enunciado quer que a gente encontre um “inverso” A^-1 de um vetor dado A satisfazendo
A cdot A^-1 ;=; 1
O conteúdo principal é produto escalar em R^n e a ideia de solucionar a equação linear
Acdot X=1

Passo 2

Note que a condição
Acdot X=1
é simplesmente uma equação linear em X. Geometricamente, o conjunto de X que satisfaz isso é um hiperplano afim em R^n: todos os pontos cuja projeção em A vale 1.

Passo 3

Para ver que há mais de uma solução, basta achar um particular. Defina
S = |A|^2 = Acdot A
e seja
B0 = AS
Claramente
Acdot B0 = Acdot AS = SS =1,
logo B0 é um dos inversos.

Passo 4

Agora, para qualquer vetor K ortogonal a A, isto é, tal que
Acdot K=0,
consideramos
B = B0 + K
Então
Acdot B = AcdotB0 + Acdot K = 1 + 0 =1,
ou seja, B também satisfaz a condição de inverso.

Passo 5

Como existem infinitos vetores Kneq 0 com Acdot K=0, concluímos que há infinitas escolhas para A^-1. A relação AcdotA^-1=1 por si só não define A^-1 de forma única.

Resposta

A condição AcdotA^-1=1 define um hiperplano de soluções em R^n, logo existem infinitos vetores que satisfazem essa equação e, portanto, o inverso não é único.

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