3.2.22 Poderíamos pedir um vetor
, um inverso de um dado vetor
no sentido de que
Mostre que essa relação não é suficiente para definir
unicamente; então,
teria um número infinito de inversos.
Passo 1
O enunciado quer que a gente encontre um “inverso”
de um vetor dado
satisfazendo
O conteúdo principal é produto escalar em
e a ideia de solucionar a equação linear
Passo 2
Note que a condição
é simplesmente uma equação linear em
. Geometricamente, o conjunto de
que satisfaz isso é um hiperplano afim em
: todos os pontos cuja projeção em
vale
.
Passo 3
Para ver que há mais de uma solução, basta achar um particular. Defina
e seja
Claramente
logo
é um dos inversos.
Passo 4
Agora, para qualquer vetor
ortogonal a
, isto é, tal que
consideramos
Então
ou seja,
também satisfaz a condição de inverso.
Passo 5
Como existem infinitos vetores
com
, concluímos que há infinitas escolhas para
. A relação
por si só não define
de forma única.
Resposta
A condição
define um hiperplano de soluções em
, logo existem infinitos vetores que satisfazem essa equação e, portanto, o inverso não é único.