3.2.22 Poderíamos pedir um vetor \mathbf{A}^{-1}, um inverso de um dado vetor \mathbf{A} no sentido de que
\mathbf{A} \cdot \mathbf{A}^{-1}=\mathbf{A}^{-1} \cdot \mathbf{A}=1
Mostre que essa relação não é suficiente para definir \mathbf{A}^{-1} unicamente; então, \mathbf{A} teria um número infinito de inversos.

Passo 1

O enunciado quer que a gente encontre um “inverso” \mathbf{A}^{-1} de um vetor dado \mathbf{A} satisfazendo
\mathbf{A} \cdot \mathbf{A}^{-1} \;=\; 1.
O conteúdo principal é produto escalar em \mathbb{R}^n e a ideia de solucionar a equação linear
\mathbf{A}\cdot \mathbf{X}=1.

Passo 2

Note que a condição
\mathbf{A}\cdot \mathbf{X}=1
é simplesmente uma equação linear em \mathbf{X}. Geometricamente, o conjunto de \mathbf{X} que satisfaz isso é um hiperplano afim em \mathbb{R}^n: todos os pontos cuja projeção em \mathbf{A} vale 1.

Passo 3

Para ver que há mais de uma solução, basta achar um particular. Defina
S = \|\mathbf{A}\|^2 = \mathbf{A}\cdot \mathbf{A}
e seja
\mathbf{B}_0 = \frac{\mathbf{A}}{S}.
Claramente
\mathbf{A}\cdot \mathbf{B}_0 = \frac{\mathbf{A}\cdot \mathbf{A}}{S} = \frac{S}{S} =1,
logo \mathbf{B}_0 é um dos inversos.

Passo 4

Agora, para qualquer vetor \mathbf{K} ortogonal a \mathbf{A}, isto é, tal que
\mathbf{A}\cdot \mathbf{K}=0,
consideramos
\mathbf{B} = \mathbf{B}_0 + \mathbf{K}.
Então
\mathbf{A}\cdot \mathbf{B} = \mathbf{A}\cdot\mathbf{B}_0 + \mathbf{A}\cdot \mathbf{K} = 1 + 0 =1,
ou seja, \mathbf{B} também satisfaz a condição de inverso.

Passo 5

Como existem infinitos vetores \mathbf{K}\neq \mathbf{0} com \mathbf{A}\cdot \mathbf{K}=0, concluímos que há infinitas escolhas para \mathbf{A}^{-1}. A relação \mathbf{A}\cdot\mathbf{A}^{-1}=1 por si só não define \mathbf{A}^{-1} de forma única.

Resposta

A condição \mathbf{A}\cdot\mathbf{A}^{-1}=1 define um hiperplano de soluções em \mathbb{R}^n, logo existem infinitos vetores que satisfazem essa equação e, portanto, o inverso não é único.

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