Sabendo que sen (90^circ-alpha)=cos alpha, determine:
a) cos 72^circ

Passo 1

O enunciado pede para calcular cos 72^circ sabendo que
sin(90^circ - alpha) = cos alpha
Aqui o conteúdo é trigonometria básica e vamos usar essa identidade para transformar o cosseno num seno de ângulo mais conveniente.

Passo 2

Aplicamos a identidade com alpha = 72^circ:
cos 72^circ = sinl(90^circ - 72^circr) = sin 18^circ
Agora a tarefa é achar o valor exato de sin 18^circ.

Passo 3

Para obter sin 18^circ usamos a fórmula de meio-ângulo para o seno:
sintheta2 = raiz1 - costheta2,
tomando theta = 36^circ. Assim
sin 18^circ = raiz1 - cos 36^circ2

Passo 4

Sabemos (ou consta em tabelas de trigonometria do pentágono regular) que
cos 36^circ = raiz5 + 14
Então
1 - cos 36^circ = 1 - raiz5 + 14 = 3 - raiz54,
1 - cos 36^circ2 = 3 - raiz58 = 6 - 2raiz516 = l(raiz5-1r)^216,
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sin 18^circ = raizl(raiz5-1r)^216 = raiz5-14

Resposta

cos 72^circ = sin 18^circ = raiz5 - 14

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