Um polígono regular possui a partir de um de seus vértices tantas diagonais quantas são as diagonais de um hexágono. Ache:
a) o polígono;
d) a soma dos ângulos externos;
b) o total de diagonais;
e) a medida de cada ângulo interno e
c) a soma dos ângulos internos; de cada ângulo externo.
Solução
- Número de diagonais do hexágono
- Novo polígono
De cada vértice partem
diagonais. Então:
a) O polígono é o dodecágono (
).
b)
(diagonais)
c)
d) A soma dos ângulos externos é constante:
.
e)
a) o polígono;
d) a soma dos ângulos externos;
b) o total de diagonais;
e) a medida de cada ângulo interno e
c) a soma dos ângulos internos; de cada ângulo externo.
b)
c)
d) A soma dos ângulos externos é constante:
e)
Passo 1
O problema diz que de cada vértice de um polígono regular partem tantas diagonais quantas o total de diagonais de um hexágono. Precisamos então descobrir o valor de
desse polígono e a partir daí responder:
a) qual é o polígono,
b) quantas diagonais ele tem,
c) qual a soma dos ângulos internos,
d) qual a soma dos ângulos externos,
e) quanto mede cada ângulo interno e cada ângulo externo.
a) qual é o polígono,
b) quantas diagonais ele tem,
c) qual a soma dos ângulos internos,
d) qual a soma dos ângulos externos,
e) quanto mede cada ângulo interno e cada ângulo externo.
Passo 2
Calculamos primeiro o número de diagonais de um hexágono (
) usando a fórmula geral para o total de diagonais de um polígono de
lados:
Para
isso dá
Passo 3
Em um polígono regular de
lados, de cada vértice partem
diagonais. Como isso deve igualar
, temos
Passo 4
Portanto o polígono é o dodecágono (pois
).
Passo 5
O total de diagonais desse dodecágono é
Passo 6
A soma dos ângulos internos de um polígono de
lados é
A soma dos ângulos externos de qualquer polígono convexo é sempre
Passo 7
Em um polígono regular cada ângulo externo mede
e cada ângulo interno vale
Resposta
a) O polígono é o dodecágono.
b) O total de diagonais é .
c) A soma dos ângulos internos é .
d) A soma dos ângulos externos é .
e) Cada ângulo interno mede e cada ângulo externo mede
.
b) O total de diagonais é
c) A soma dos ângulos internos é
d) A soma dos ângulos externos é
e) Cada ângulo interno mede