Um polígono regular possui a partir de um de seus vértices tantas diagonais quantas são as diagonais de um hexágono. Ache:
a) o polígono;
d) a soma dos ângulos externos;
b) o total de diagonais;
e) a medida de cada ângulo interno e
c) a soma dos ângulos internos; de cada ângulo externo.

Solução

  1. Número de diagonais do hexágono
(n=6, d=n(n-3)2) Rightarrow d=6(6-3)2 Rightarrow d=9
  1. Novo polígono
De cada vértice partem n-3 diagonais. Então:
n-3=9 Rightarrow n=12
a) O polígono é o dodecágono ( n=12 ).
b) d=n(n-3)2 Rightarrow d=12(12-3)2 Rightarrow d=54 (diagonais)
c) Si=(n-2) cdot 180^circ Rightarrow Si=(12-2) cdot 180^circ Rightarrow Si=1800^circ
d) A soma dos ângulos externos é constante: Se=360^circ.
e) n cdot ae=360^circ Rightarrow 12 cdot ae=360^circ Rightarrow ae=30^circ a1+ae=180^circ Rightarrow a1=180^circ-30^circ Rightarrow ai=150^circ

Passo 1

O problema diz que de cada vértice de um polígono regular partem tantas diagonais quantas o total de diagonais de um hexágono. Precisamos então descobrir o valor de n desse polígono e a partir daí responder:
a) qual é o polígono,
b) quantas diagonais ele tem,
c) qual a soma dos ângulos internos,
d) qual a soma dos ângulos externos,
e) quanto mede cada ângulo interno e cada ângulo externo.

Passo 2

Calculamos primeiro o número de diagonais de um hexágono ( n=6) usando a fórmula geral para o total de diagonais de um polígono de n lados:
d=n(n-3)2
Para n=6 isso dá
dhex = 6,(6-3)2 = 6cdot32 = 9

Passo 3

Em um polígono regular de n lados, de cada vértice partem n-3 diagonais. Como isso deve igualar 9, temos
n-3 = 9 Longrightarrow n = 12

Passo 4

Portanto o polígono é o dodecágono (pois n=12).

Passo 5

O total de diagonais desse dodecágono é
d = n(n-3)2 = 12,(12-3)2 = 12cdot92 = 54

Passo 6

A soma dos ângulos internos de um polígono de n lados é
Si = (n-2)cdot 180^circ = (12-2)cdot180^circ = 10cdot180^circ = 1800^circ
A soma dos ângulos externos de qualquer polígono convexo é sempre
Se = 360^circ

Passo 7

Em um polígono regular cada ângulo externo mede
ae = 360^circn = 360^circ12 = 30^circ,
e cada ângulo interno vale
ai = 180^circ - ae = 180^circ - 30^circ = 150^circ

Resposta

a) O polígono é o dodecágono.
b) O total de diagonais é 54.
c) A soma dos ângulos internos é 1800^circ.
d) A soma dos ângulos externos é 360^circ.
e) Cada ângulo interno mede 150^circ e cada ângulo externo mede 30^circ.

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