Ponha duas partículas que obedecem à estatística de Maxwell-Boltzmann (Fermi-Dirac ou BoseEinstein) em três caixas. Há quantos modos em cada caso?

Passo 1

O enunciado pede para distribuir duas partículas em três caixas e contar o número de modos (microestados) em três estatísticas diferentes: Maxwell–Boltzmann (partículas distinguíveis, sem restrição de ocupação), Fermi–Dirac (partículas indistinguíveis, no máximo uma por caixa) e Bose–Einstein (partículas indistinguíveis, sem limite de ocupação). Para resolver isso, vamos usar contagem de arranjos para partículas distinguíveis e fórmulas de combinações com e sem repetição para partículas indistinguíveis.

Passo 2

Maxwell–Boltzmann: cada partícula é distinguível e pode ir a qualquer uma das três caixas, sem restrição. Logo, se marcarmos as partículas como A e B,
cada uma tem 3 opções independentes, totalizando
3 times 3 = 9
modos distintos.

Passo 3

Bose–Einstein: as partículas são indistinguíveis e não há limite de ocupação por caixa. Estamos contando o número de soluções não negativas de
n1 + n2 + n3 = 2
onde ni é o número de partículas na caixa i. Pelo princípio de combinações com repetição, o total é
binom2 + 3 - 13 - 1 = binom42 = 6

Passo 4

Fermi–Dirac: as partículas são indistinguíveis e cada caixa admite no máximo uma partícula ( ni in 0,1). Precisamos escolher em quais 2 das 3 caixas colocar uma partícula, isto é
binom32 = 3

Resposta

Maxwell–Boltzmann: 9 modos
Fermi–Dirac: 3 modos
Bose–Einstein: 6 modos

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