Ponha duas partículas que obedecem à estatística de Maxwell-Boltzmann (Fermi-Dirac ou BoseEinstein) em três caixas. Há quantos modos em cada caso?
Passo 1
O enunciado pede para distribuir duas partículas em três caixas e contar o número de modos (microestados) em três estatísticas diferentes: Maxwell–Boltzmann (partículas distinguíveis, sem restrição de ocupação), Fermi–Dirac (partículas indistinguíveis, no máximo uma por caixa) e Bose–Einstein (partículas indistinguíveis, sem limite de ocupação). Para resolver isso, vamos usar contagem de arranjos para partículas distinguíveis e fórmulas de combinações com e sem repetição para partículas indistinguíveis.
Passo 2
Maxwell–Boltzmann: cada partícula é distinguível e pode ir a qualquer uma das três caixas, sem restrição. Logo, se marcarmos as partículas como
e
,
cada uma tem opções independentes, totalizando
cada uma tem
modos distintos.
Passo 3
Bose–Einstein: as partículas são indistinguíveis e não há limite de ocupação por caixa. Estamos contando o número de soluções não negativas de
onde
é o número de partículas na caixa
. Pelo princípio de combinações com repetição, o total é
Passo 4
Fermi–Dirac: as partículas são indistinguíveis e cada caixa admite no máximo uma partícula (
). Precisamos escolher em quais
das
caixas colocar uma partícula, isto é
Resposta
Maxwell–Boltzmann:
modos
Fermi–Dirac: modos
Bose–Einstein: modos
Fermi–Dirac:
Bose–Einstein: