(PUC-SP) Em um sistema cartesiano ortogonal, em que a unidade de medida nos eixos é o centímetro, considere:
A reta r, traçada pelo ponto (2,3) e paralela à bissetriz dos quadrantes ímpares;
A reta s, traçada pelo ponto (2,5) e perpendicular a r;
O segmento OA em que O é a origem do sistema e A é a interseção de r e s.
Um ponto M é tomado sobre o segmento O A de modo que O M e MA correspondam às medidas da hipotenusa e de um dos catetos de um triângulo retângulo De<a. Se o outro cateto do triang<= mede 3 cm , a área de sua superfície, em centímetro quadrados, é:
a) 1,8
b) 2,4
c) 3,5
d) 4,2
e) 5,1

Passo 1

O enunciado é de geometria analítica e envolve também o teorema de Pitágoras. Precisamos:
– Encontrar as equações das retas r e s sabendo que r é paralela à bissetriz dos quadrantes ímpares ( y=x) e passa por (2,3), e que s é perpendicular a r e passa por (2,5).
– Determinar o ponto A, interseção de r e s.
– Calcular o comprimento de OA.
– Escolher um ponto M em OA de forma que os segmentos OM e MA sejam, respectivamente, hipotenusa e um cateto de um triângulo retângulo cujo outro cateto mede 3,cm, e achar a área desse triângulo.

Passo 2

Como r é paralela a y=x, sua inclinação é mr=1. Usando o ponto (2,3) na forma ponto-inclinação,
y-3 = 1,(x-2)
logo
r:;y = x + 1

Passo 3

A reta s é perpendicular a r, então sua inclinação é ms=-1. Passando por (2,5),
y-5 = -1,(x-2)
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s:;y = -x + 7

Passo 4

Para achar A=(xA,yA), igualamos
x + 1 = -x + 7
2x = 6 Longrightarrow xA = 3,
e então yA = 3 + 1 = 4. Assim,
A = (3,4)

Passo 5

O comprimento de OA vem da distância entre (0,0) e (3,4):
OA = raiz3^2 + 4^2 = 5 cm

Passo 6

Marcamos em OA um ponto M de modo que OM e MA sejam hipotenusa c e cateto m de um triângulo retângulo, cujo outro cateto vale 3,cm. Como OM + MA = OA, temos
c + m = 5
Pelo teorema de Pitágoras,
c^2 = m^2 + 3^2 = m^2 + 9
Substituindo c = 5 - m em (5-m)^2 = m^2 + 9, obtém-se
25 - 10m + m^2 = m^2 + 9 Longrightarrow 10m = 16 Longrightarrow m = 1,6 cm

Passo 7

O outro cateto mede 3,cm e o cateto m mede 1,6,cm. A área do triângulo é
Área = m times 32 = 1,6 times 32 = 2,4 cm^2 Á

Resposta

2,4.

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