Um ponto , externo de um ângulo de , dista e dos lados do ângulo, sendo que nenhuma destas distâncias é até o vértice do ângulo. Qual é a distância entre P e a bissetriz do ângulo?
Passo 1
O enunciado dá um ponto fora de um ângulo de cujas distâncias perpendiculares aos dois lados do ângulo são m e m. Queremos a distância de à bissetriz interna desse ângulo. O conteúdo aqui é usar coordenadas para representar as retas (lados do ângulo), resolver o sistema dado pelas distâncias e, em seguida, calcular a distância de à reta que é a bissetriz.
Passo 2
Escolhemos o vértice do ângulo na origem . Tomemos o primeiro lado como o eixo (reta ) e o segundo lado fazendo ângulo de com o , ou seja, . Seja .
– A distância de a é
– A distância de a é
Passo 3
Das fórmulas acima obtemos o sistema
|y| = 9raiz3, l|y - raiz3xr| = 6raiz3
Tomando y=9raiz3 (sinal positivo para facilitar) e substituindo na segunda equação,
Precisamos do ponto P que está fora do setor de abertura 60^circ. O setor interior satisfaz 0<= y<=raiz3,x. Para y=9raiz3, isso exige x>=9. Logo x=15 cairia dentro do setor, e x=3 fica fora. Assim
P = (3,;9raiz3)
Passo 5
A bissetriz interna do ângulo de 60^circ forma 30^circ com o eixo x, ou seja, é a reta
Lb: y = tfrac1raiz3,x,
cuja forma padrão é y - tfrac1raiz3x = 0. A distância de P a Lb é