Um ponto P, externo de um ângulo de 60^circ, dista 9 raiz3 m e 3 raiz3 m dos lados do ângulo, sendo que nenhuma destas distâncias é até o vértice do ângulo. Qual é a distância entre P e a bissetriz do ângulo?

Passo 1

O enunciado dá um ponto P fora de um ângulo de 60^circ cujas distâncias perpendiculares aos dois lados do ângulo são 9raiz3 m e 3raiz3 m. Queremos a distância de P à bissetriz interna desse ângulo. O conteúdo aqui é usar coordenadas para representar as retas (lados do ângulo), resolver o sistema dado pelas distâncias e, em seguida, calcular a distância de P à reta que é a bissetriz.

Passo 2

Escolhemos o vértice do ângulo na origem O=(0,0). Tomemos o primeiro lado como o eixo x (reta L1: y=0) e o segundo lado fazendo ângulo de 60^circ com o x, ou seja, L2: y=raiz3,x. Seja P=(x,y).
– A distância de P a L1 é
d1 = |y| = 9raiz3
– A distância de P a L2 é
d2 = l|y - raiz3,xr|raiz1+(raiz3)^2 = l|y - raiz3xr|2 = 3raiz3

Passo 3

Das fórmulas acima obtemos o sistema
|y| = 9raiz3, l|y - raiz3xr| = 6raiz3
Tomando y=9raiz3 (sinal positivo para facilitar) e substituindo na segunda equação,
l|9raiz3 - raiz3,xr| = 6raiz3 ;Longrightarrow; |9 - x| = 6 ;Longrightarrow; x = 9 pm 6
As soluções são x=15 ou x=3.

Passo 4

Precisamos do ponto P que está fora do setor de abertura 60^circ. O setor interior satisfaz 0<= y<=raiz3,x. Para y=9raiz3, isso exige x>=9. Logo x=15 cairia dentro do setor, e x=3 fica fora. Assim
P = (3,;9raiz3)

Passo 5

A bissetriz interna do ângulo de 60^circ forma 30^circ com o eixo x, ou seja, é a reta
Lb: y = tfrac1raiz3,x,
cuja forma padrão é y - tfrac1raiz3x = 0. A distância de P a Lb é
db = l|,y - tfrac1raiz3xr|raiz1 + l(tfrac1raiz3r)^2 = l|9raiz3 - tfrac1raiz3cdot 3r|raiz1 + tfrac13 = l|9raiz3 - raiz3r|tfrac2raiz3 = 8raiz32/raiz3 =12

Resposta

A distância de P à bissetriz do ângulo é 12 m.

Exercícios de Livros Relacionados