Um ponto P, interno de um ângulo de 60^circ, dista 6 m e 9 m dos lados desse ângulo. Qual a distância entre P e a bissetriz do ângulo?

Passo 1

O enunciado diz que temos um ponto P dentro de um ângulo de 60^circ cujas distâncias perpendiculares aos dois lados do ângulo são 6 m e 9 m. Precisamos encontrar a distância de P até a bissetriz desse ângulo. Vamos usar coordenadas planas para representar as retas dos lados e aplicar a fórmula da distância ponto–reta.

Passo 2

Colocamos o vértice do ângulo na origem (0,0). Que tal tomar o primeiro lado como o eixo x positivo e o segundo lado como a reta que forma 60^circ com o eixo x? Assim:
— reta L1colon y=0 (eixo x),
— reta L2colon y-raiz3,x=0 (reta de inclinação raiz3).

Passo 3

A distância perpendicular de P=(x,y) a L1 é simplesmente
d1 = y = 6
A distância perpendicular a L2 é
d2 = l|, -raiz3,x + y r|raiz(!-raiz3!)^2+1^2 = l|,-raiz3,x + yr|2 = 9
Como P está entre as duas semirretas, o numerador fica raiz3,x - y = 18. Substituindo y=6,
raiz3,x - 6 = 18 Longrightarrow raiz3,x = 24 Longrightarrow x = 24raiz3 = 8raiz3
Logo P = (8raiz3,,6).

Passo 4

A bissetriz interna do ângulo de 60^circ é a reta que faz 30^circ com o eixo x, ou seja,
Lbcolon y - xraiz3 = 0 Long<=ftrightarrow raiz3,y - x = 0
A distância de P a Lb é
db = l|raiz3,y - xr|raiz(raiz3)^2 + (-1)^2 = l|raiz3cdot 6 - 8raiz3r|2 = 2raiz32 = raiz3

Resposta

A distância de P até a bissetriz do ângulo é raiz3 m.

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