Um ponto P, interno de um ângulo de 60^circ, dista 3 m e 6 m dos lados do ângulo. Determine a distância entre P e o vértice desse ângulo.

Passo 1

O enunciado diz que temos um ângulo de 60^circ com vértice em O e um ponto P no interior desse ângulo. Sabemos que as distâncias perpendiculares de P aos dois lados do ângulo são 3 m e 6 m. Precisamos determinar a distância OP. Vamos usar coordenadas cartesianas para marcar o vértice em O=(0,0), um lado ao longo do eixo x e o outro girado de 60^circ, expressar as distâncias a esses lados e achar OP.

Passo 2

Escolhemos coordenadas de modo que
  • o primeiro lado seja o eixo x,
  • o segundo lado seja a reta que passa por O e faz ângulo de 60^circ com o eixo x.
Se P=(x,y) está no interior, então y>0 e x>0.
  1. A distância de P ao eixo x (primeiro lado) é simplesmente
l|yr|=y=3
  1. A distância de P à reta que faz 60^circ com o eixo x é dada por
l|-sin 60^circ;x+cos 60^circ;yr| =l|-tfracraiz32,x+tfrac12,yr| =6

Passo 3

Como y=3, a equação
l|-tfracraiz32,x+tfrac12cdot3r|=6
torna-se, levando em conta o sinal que gera x>0,
-tfracraiz32,x+tfrac32=-6 Longrightarrow -tfracraiz32,x=-tfrac152 Longrightarrow x=152cdot2raiz3 =15raiz3 =5raiz3

Passo 4

Agora P=(5raiz3,,3) e a distância ao vértice O é
OP =raizl(5raiz3r)^2+3^2 =raiz75+9 =raiz84 =2raiz21

Resposta

A distância entre P e o vértice do ângulo é 2raiz21 metros.

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