Um ponto P interno de um ângulo reto dista 4 m e 8 m dos lados do ângulo. Qual a distância entre P e o vértice desse ângulo?

Passo 1

O enunciado dá um ponto P interno a um ângulo reto de vértice O cujas distâncias perpendiculares aos dois lados desse ângulo são 4 m e 8 m. Para resolver, vamos usar geometria analítica: posicionar os lados como eixos coordenados ortogonais e depois aplicar o Teorema de Pitágoras.

Passo 2

Escolhemos o vértice O como a origem do plano cartesiano, O=(0,0), e tomamos os lados do ângulo como os eixos x e y. Assim, um ponto P=(x,y) terá distância ao eixo y igual a |x| e ao eixo x igual a |y|.

Passo 3

Como P está no interior do ângulo reto, temos x>0 e y>0. As distâncias dadas são
|x| = 4, |y| = 8,
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P = (4,8)

Passo 4

A distância de P ao vértice O é dada pelo Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo formado pelos pontos O, a projeção de P no eixo x e a projeção de P no eixo y. Assim,
OP = raiz(4-0)^2 + (8-0)^2 = raiz4^2 + 8^2 = raiz16 + 64 = raiz80 = 4raiz5

Resposta

A distância entre P e o vértice do ângulo é 4raiz5 metros.

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