O ponto O é a interseção das diagonais A C e B D de um losango ABCD. Prolonga-se o lado AD até um ponto F de modo que DF=4 m. Se OF encontra CD em E e ED=2 m, determine o lado do losango.

Passo 1

O enunciado trata de um losango ABCD com diagonais AC e BD que se cruzam em O. Prolonga-se AD até F de modo que DF=4 e a reta OF corta CD em E com ED=2. Vamos usar geometria analítica: colocamos o losango centrado em O, alinhamos as diagonais aos eixos coordenados e exploramos relações de segmentos e vetores para achar o lado s.

Passo 2

Escolhemos coordenadas de modo que as diagonais sejam eixos perpendiculares que se bissetam em O:
Al(-tfrac p2,0r), Cl(tfrac p2,0r), Dl(0,-tfrac q2r), Bl(0,tfrac q2r),
onde p=AC e q=BD. No losango vale
s^2=l(tfrac p2r)^2+l(tfrac q2r)^2

Passo 3

Para prolongar AD até F com DF=4, note que DA=(-tfrac p2,,tfrac q2) tem comprimento s. Então
F=D+4s,DA =l(0,-tfrac q2r) +4sl(-tfrac p2,,tfrac q2r) =l(-tfrac2ps,,-tfrac q2+tfrac2qsr)

Passo 4

O ponto E está em CD a 2 unidades de D. Como DC=(tfrac p2,tfrac q2) tem comprimento s,
E=D+2s,DC =l(0,-tfrac q2r) +2sl(tfrac p2,,tfrac q2r) =l(tfrac ps,,-tfrac q2+tfrac qsr)
Por outro lado, E também está em OF, que é a reta por O e F, logo existe lambda tal que E=lambda F. Das abscissas:
tfrac ps=lambdal(-tfrac2psr) ;Rightarrow;lambda=-tfrac12
Das ordenadas igualamos
-tfrac q2+tfrac qs =lambdal(-tfrac q2+tfrac2qsr) =-tfrac12l(-tfrac q2+tfrac2qsr)

Passo 5

Simplificando a igualdade das ordenadas:
-tfrac q2+tfrac qs =-tfrac12l(-tfrac q2+tfrac2qsr) ;Longrightarrow; -tfrac q2+tfrac qs =tfrac q4-tfrac qs ;Longrightarrow; qs+ qs =tfrac q2+tfrac q4 ;Longrightarrow; 2qs=tfrac3q4 ;Longrightarrow; s= 2q,3q/4,= 83times q/q =8
Portanto o lado do losango é 8 metros.

Resposta

O lado do losango vale 8 m.

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