Um ponto de um lado de um ângulo de 30^circ dista 6 m do outro lado. Determine a distância da projeção ortogonal desse ponto sobre este outro lado até o vértice do ângulo.

Passo 1

O enunciado dá um ângulo de 30^circ com vértice em V. Num dos lados desse ângulo há um ponto P tal que a distância de P até o outro lado (pela perpendicular) vale 6 m. Queremos achar a distância de V até a projeção ortogonal H de P sobre esse segundo lado. Usaremos coordenadas e trigonometria para isso.

Passo 2

Escolhemos um sistema de coordenadas em que:
– o vértice V coincide com a origem (0,0);
– o segundo lado (o que recebe a projeção) seja o eixo x (i.e.\ o raio (x,0) mid x >= 0 );
– o primeiro lado seja o raio que faz 30^circ com o eixo x.
Então um ponto genérico P desse primeiro lado pode ser escrito como
P = l(t cos 30^circ,; t sin 30^circr),
com t >= 0.

Passo 3

A distância de P ao eixo x (nosso segundo lado) é simplesmente a sua coordenada y. Logo
dist(P,;x-axis) ;=; tsin30^circ
O enunciado diz que essa distância vale 6, isto é,
tsin30^circ = 6

Passo 4

Como sin30^circ = tfrac12, temos
t ;=;6tfrac12 ;=;12

Passo 5

A projeção ortogonal H de P no eixo x tem coordenadas (Px,0), ou seja,
H=l(tcos30^circ,,0r)
Portanto a distância procurada VH é
VH = tcos30^circ = 12cdot raiz32 = 6raiz3

Resposta

A distância é 6raiz3 m.

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