Em um trapézio retângulo, a bissetriz de um ângulo reto forma com a bissetriz do ângulo agudo do trapézio um ângulo de 110^circ. Determine o maior ângulo do trapézio.

Passo 1

Vamos chamar o trapézio de ABCD com ABparal<=l CD e ADperp AB (logo AD é a perna vertical). Assim temos
  • ang<= D = 90^circ e ang<= A = 90^circ.
  • ang<= B e ang<= C são suplementares ( ang<= B+ang<= C=180^circ).
    O problema diz que a bissetriz de um ângulo reto (vamos usar a de ang<= D) forma 110^circ com a bissetriz do ângulo agudo (que é ang<= C). Precisamos achar o maior ângulo do trapézio, isto é, maxang<= A,ang<= B,ang<= C,ang<= D.

Passo 2

Denotemos ang<= C=alpha. Então
ang<= B = 180^circ-alpha,
ang<= A=ang<= D=90^circ e alpha<90^circ.

Passo 3

– A bissetriz de ang<= D=90^circ faz 45^circ com a base DC.
– A bissetriz de ang<= C=alpha faz tfracalpha2 com o mesmo segmento DC, mas do lado oposto.
Assim o ângulo entre as duas bissetrizes vale
(180^circ-tfracalpha2) - 45^circ ;=;135^circ - tfracalpha2
Pelo enunciado esse valor é 110^circ, logo
135^circ - tfracalpha2 = 110^circ Longrightarrow tfracalpha2=25^circ Longrightarrow alpha =50^circ

Passo 4

Com alpha=50^circ temos
ang<= C=50^circ, ang<= B=180^circ-50^circ=130^circ, ang<= A=ang<= D=90^circ
O maior ângulo do trapézio é ang<= B=130^circ.

Resposta

130^circ

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