Prove que as bissetrizes dos ângulos formados pelas diagonais de um retângulo são paralelas aos lados do retângulo.
Passo 1
Resumindo: seja um retângulo de lados e . As diagonais e se cruzam em . Queremos mostrar que as bissetrizes dos quatro ângulos formados em são duas retas paralelas a (e ) e duas retas paralelas a (e ). Vamos usar coordenadas e vetores para encontrar a direção de cada bissetriz.
Em geometria vetorial, se dois vetores u e v têm o mesmo comprimento, então a direção da bissetriz interna do ângulo entre eles coincide com a direção de u+ v. Aqui todas as diagonais têm o mesmo comprimento, logo |OA|=|OB| e assim por diante.
As bissetrizes dos ângulos formados em O são exatamente duas retas verticais (paralelas a BC e AD) e duas retas horizontais (paralelas a AB e CD). Isso prova que todas as bissetrizes são paralelas aos lados do retângulo.
Cálculo - Osvaldo Dolce, José Nicolau Pompeo - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 9: Geometria Plana - 9ª Edição - Capítulo 7.Exercícios - Ex. 268