Prove que as bissetrizes dos ângulos formados pelas diagonais de um retângulo são paralelas aos lados do retângulo.

Passo 1

Resumindo: seja ABCD um retângulo de lados ABparal<=l CD e BCparal<=l AD. As diagonais AC e BD se cruzam em O. Queremos mostrar que as bissetrizes dos quatro ângulos formados em O são duas retas paralelas a AB (e CD) e duas retas paralelas a BC (e AD). Vamos usar coordenadas e vetores para encontrar a direção de cada bissetriz.

Passo 2

Escolhemos um sistema de coordenadas tais que
A=(0,0), B=(a,0), C=(a,b), D=(0,b),
com a,b>0. Então o ponto médio das diagonais é
O=l(tfrac a2,tfrac b2r)
Os vetores que vão de O aos vértices são
OA=l(-tfrac a2,,-tfrac b2r), OB=l(tfrac a2,,-tfrac b2r),
OC=l(tfrac a2,,tfrac b2r), OD=l(-tfrac a2,,tfrac b2r)

Passo 3

Em geometria vetorial, se dois vetores u e v têm o mesmo comprimento, então a direção da bissetriz interna do ângulo entre eles coincide com a direção de u+ v. Aqui todas as diagonais têm o mesmo comprimento, logo |OA|=|OB| e assim por diante.
– Ângulo ang<= AOB: a direção da bissetriz é
OA+OB =l(-tfrac a2,,-tfrac b2r)+l(tfrac a2,,-tfrac b2r) =(0,,-b),
que é vertical. Portanto essa bissetriz é paralela a BC e AD.
– Ângulo ang<= BOC:
OB+OC =l(tfrac a2,,-tfrac b2r)+l(tfrac a2,,tfrac b2r) =(a,,0),
direção horizontal. Essa bissetriz é paralela a AB e CD.
– Ângulo ang<= COD:
OC+OD =l(tfrac a2,,tfrac b2r)+l(-tfrac a2,,tfrac b2r) =(0,,b),
nova direção vertical, paralela a BC.
– Ângulo ang<= DOA:
OD+OA =l(-tfrac a2,,tfrac b2r)+l(-tfrac a2,,-tfrac b2r) =(-a,,0),
nova direção horizontal, paralela a AB.

Resposta

As bissetrizes dos ângulos formados em O são exatamente duas retas verticais (paralelas a BC e AD) e duas retas horizontais (paralelas a AB e CD). Isso prova que todas as bissetrizes são paralelas aos lados do retângulo.

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