A população mundial, no início de 1970, era de 3,6 bilhões de habitantes. A massa da Terra é 6.586 times 10^8 toneladas. Considerando-se que a população mundial continue a crescer à taxa de 2 % ao ano e que uma pessoa pese 54 kg em média, em que ano a soma das massas de todas as pessoas será igual à massa da Terra?

Passo 1

O enunciado dá a população inicial no ano de 1970 como P0 = 3,6times10^9 pessoas, crescendo à taxa de 2% ao ano, e cada pessoa pesa em média 54 kg. A massa da Terra é 6,586times10^8 toneladas. Para resolver, precisamos usar o modelo de crescimento exponencial e converter a massa da Terra para quilogramas.

Passo 2

Converter a massa da Terra de toneladas para quilogramas. Como 1 tonelada =10^3 kg, temos:
Mrm Terra = 6,586times10^8 t ;times10^3 kgt =6,586times10^11 kg

Passo 3

O modelo de crescimento da população é
P(t) = P0,(1,02)^t
com t em anos após 1970. A massa total das pessoas em kg é
m(t) = 54 times P(t)
Igualamos m(t) à massa da Terra:
54timesl(3,6times10^9r),(1,02)^t = 6,586times10^11

Passo 4

Primeiro calculemos o produto 54times3,6=194,4 e escrevemos
1,944times10^11,(1,02)^t = 6,586times10^11
Dividindo ambos os lados por 1,944times10^11 obtém-se
(1,02)^t = 6,5861,944approx3,3888
Aplicando logaritmo natural em ambos os lados:
t = ln(3,3888)ln(1,02)approx1,22060,0198approx61,6 anos

Passo 5

Somando 61,6 anos a 1970, chegamos ao ano aproximado de
1970 + 62 = 2032

Resposta

2032

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