A prefeitura de Bom Jesus resolveu reservar uma área retangular de 200 m^2 para a construção de um pequeno parque infantil. Entretanto, para que o parque não fique muito estreito e comprido, a prefeitura determinou que uma de suas dimensões deverá ser maior ou igual à metade da outra, e menor ou igual ao dobro da outra, ou seja,
x2 <= y <= 2 x
em que x e y são as dimensões do parque. Lembrando que a área da região retangular é igual a x y,
a) defina y em relação a x, a partir da área do parque;
b) determine o valor mínimo e o valor máximo de x.

Passo 1

O enunciado descreve um parque retangular cujas dimensões são x e y, com área fixa de 200 m^2, e sujeitas à restrição
x2 <= y <= 2x

Passo 2

Como a área é xy=200, isolamos y:
y = 200x

Passo 3

Impondo a desigualdade inferior tfracx2<= y, substituímos y:
x2 <= 200x
Multiplicando ambos os lados por 2x>0 vem
x^2 <= 400 Longrightarrow x <= 20

Passo 4

Impondo a desigualdade superior y<= 2x, substituímos y:
200x <= 2x
Multiplicando por x>0 obtemos
200 <= 2x^2 Longrightarrow x^2 >= 100 Longrightarrow x >= 10

Passo 5

Combinando as duas condições para x>0, temos
10 <= x <= 20

Resposta

a) y=200x
b) xmin=10, xmax=20.

Exercícios de Livros Relacionados