Resolva as inequações.
raizx+2 >= x-4

Passo 1

O enunciado pede para resolver raizx+2>= x-4. Esse tipo de desigualdade envolve radiciação, então vamos primeiro achar o domínio onde a raiz está definida e depois tratar casos para elevar ao quadrado sem introduzir soluções espúrias.

Passo 2

Determinamos o domínio exigindo o argumento da raiz não negativo:
x+2>=0 Longrightarrow x>= -2

Passo 3

Caso 1: x-4<=0 (isto é, x<=4).
Nesse intervalo o lado direito x-4 é não positivo e o lado esquerdo raizx+2 é sempre >=0. Logo, para todo xin[-2,4] temos
raizx+2>=0>= x-4,
portanto a desigualdade é satisfeita em [-2,4].

Passo 4

Caso 2: x>4.
Aqui ambos os lados são não negativos, então podemos elevar ao quadrado mantendo a desigualdade:
x+2 >= (x-4)^2
Desenvolvendo,
x+2 >= x^2 -8x +16 Longrightarrow 0 >= x^2 -9x +14 Longrightarrow x^2 -9x +14 <= 0
As raízes do polinômio x^2-9x+14 são
x = 9pmraiz81-562 = 9pm52,
isto é, x=2 e x=7. Como a parábola abre para cima, a expressão é <=0 em [2,7]. Intersectando com x>4, obtemos
xin(4,7]

Passo 5

Unindo os dois casos dentro do domínio x>=-2, a solução geral é
[-2,4];cup;(4,7] ;=;[-2,7]

Resposta

[-2,7]

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