Um prisma quadrangular regular e um cilindro circular reto têm mesma altura e mesmo volume. Sabendo que a área lateral do prisma é 2 raizpipi cm^2, calcule a área lateral do cilindro.

Passo 1

O enunciado dá um prisma quadrangular regular de base quadrada de lado a e altura h e um cilindro circular reto de raio r e mesma altura h, com volumes iguais. Sabemos também que a área lateral do prisma é tfrac2raizpipi cm^2. Para resolver, usaremos as fórmulas de:
  • área lateral do prisma: perímetro da base times altura,
  • área lateral do cilindro: 2pi r,h,
  • volumes: Vprisma=a^2h e Vcil=pi r^2h.

Passo 2

A área lateral do prisma é
Alat, prisma = (perímetro da base)times h = 4a,h í
Como Alat, prisma = dfrac2raizpipi, temos
4a,h = 2raizpipi Longrightarrow a,h = raizpi2pi

Passo 3

Igualando os volumes,
a^2h = pi r^2h,
e como h>0, segue
a^2 = pi r^2 Longrightarrow r = araizpi

Passo 4

A área lateral do cilindro é
Alat, cil = 2pi r,h
Substituindo r = tfracaraizpi e a,h = tfracraizpi2pi, obtemos
Alat, cil = 2pi!l(tfracaraizpir)h = 2raizpi,(a,h) = 2raizpi,raizpi2pi = 2pi2pi = 1

Resposta

1 cm^2

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