Um prisma triangular regular é seccionado por um plano não paralelo à sua base, obtendo-se um tronco de prisma cujas arestas laterais medem 3 cm , 5 cm e 7 cm , respectivamente. Sendo 5 cm a medida da aresta da base, determine o volume desse tronco de prisma.

Passo 1

O enunciado dá um prisma de base triangular regular (um triângulo equilátero de aresta 5 cm) cujo topo é obtido por uma seção feita por um plano que não é paralelo à base. Nas arestas laterais originais (perpendiculares à base) a interseção com esse plano ocorre a alturas h1=3 cm, h2=5 cm e h3=7 cm. O objetivo é achar o volume desse tronco de prisma usando área da base e uma fórmula de integração/barycêntrica para alturas variáveis.

Passo 2

Calculamos a área A do triângulo equilátero de lado 5 cm. A fórmula é
A = L^2raiz34,
onde L=5. Logo
A = 5^2raiz34 = 25raiz34 cm^2

Passo 3

Para um poliedro cujas “alturas” sobre os vértices do triângulo-base são h1,h2,h3 e cuja superfície superior é dada por um plano (ou seja, altura varia linearmente sobre a base), vale a fórmula
V = integralbase h(x,y),dA = Acdoth,
onde h é a média dos valores h1,h2,h3. Assim
V = A;h1 + h2 + h33

Passo 4

Aqui h1+h2+h3 = 3 + 5 + 7 = 15. Logo
V = A;153 = 5,A = 5 times 25raiz34 = 125raiz34 cm^3

Resposta

125raiz34 cm^3

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