Um prisma triangular regular é seccionado por um plano não paralelo à sua base, obtendo-se um tronco de prisma cujas arestas laterais medem 3 cm , 5 cm e 7 cm , respectivamente. Sendo 5 cm a medida da aresta da base, determine o volume desse tronco de prisma.
Passo 1
O enunciado dá um prisma de base triangular regular (um triângulo equilátero de aresta ) cujo topo é obtido por uma seção feita por um plano que não é paralelo à base. Nas arestas laterais originais (perpendiculares à base) a interseção com esse plano ocorre a alturas , e . O objetivo é achar o volume desse tronco de prisma usando área da base e uma fórmula de integração/barycêntrica para alturas variáveis.
Passo 2
Calculamos a área do triângulo equilátero de lado . A fórmula é
onde . Logo
Passo 3
Para um poliedro cujas “alturas” sobre os vértices do triângulo-base são e cuja superfície superior é dada por um plano (ou seja, altura varia linearmente sobre a base), vale a fórmula
onde h é a média dos valores h1,h2,h3. Assim
V = A;h1 + h2 + h33
Passo 4
Aqui h1+h2+h3 = 3 + 5 + 7 = 15. Logo
V = A;153 = 5,A = 5 times 25raiz34 = 125raiz34 cm^3
Resposta
125raiz34 cm^3
Cálculo - Osvaldo Dolce, José Nicolau Pompeo - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 10: Geometria espacial - Posição e métrica - 7ª Edição - Capítulo 13.Exercícios - Ex. 869