Nos Problemas 36 e 37, s(t) representa a posição de um corpo que está se movendo em linha reta.
(a) Determine a velocidade e a aceleração do corpo e descreva o movimento no intervalo de tempo indicado.
(b) Determine a distância percorrida pelo corpo no intervalo de tempo indicado.
36. s(t)=2 t^{3}-21 t^{2}+60 t-25 ; 1 \leq t \leq 6

Passo 1

O enunciado dá a posição de um corpo em movimento retilíneo
s(t)=2\,t^{3}-21\,t^{2}+60\,t-25
no intervalo 1\le t\le6, e pede em (a) a velocidade, a aceleração e descrição do movimento, e em (b) a distância total percorrida. Para resolver vamos derivar para achar v(t) e a(t), depois analisar os zeros de v(t) para estudar o sentido do movimento e, por fim, calcular posições em instantes críticos e somar os deslocamentos em módulo.

Passo 2

Derivando s(t) obtemos a velocidade
v(t)=s'(t)=6\,t^{2}-42\,t+60
e derivando novamente achamos a aceleração
a(t)=v'(t)=12\,t-42.

Passo 3

Para descrever o movimento, precisamos dos instantes em que v(t)=0. Logo,
6\,t^{2}-42\,t+60=0 \quad\Longrightarrow\quad t^{2}-7\,t+10=0 \quad\Longrightarrow\quad t=2\text{ ou }t=5.
No intervalo 1\le t<2, por exemplo em t=1,
v(1)=6-42+60=24>0,
então o corpo se move para frente. Em 2<t<5, por exemplo t=3,
v(3)=54-126+60=-12<0,
o corpo se move para trás. Em 5<t\le6, por exemplo t=6,
v(6)=216-252+60=24>0,
volta a mover-se para frente. Nos instantes t=2 e t=5 a velocidade é zero e ocorre inversão de sentido.

Passo 4

Para calcular a distância percorrida, determinamos as posições em t=1,2,5,6:
s(1)=2-21+60-25=16, \quad s(2)=16-84+120-25=27,
s(5)=250-525+300-25=0, \quad s(6)=432-756+360-25=11.
Os deslocamentos algébricos são
\Delta_{1\to2}=27-16=11,
\Delta_{2\to5}=0-27=-27,
\Delta_{5\to6}=11-0=11.
Tomando módulo e somando, a distância total é
|11|+|{-27}|+|11|=11+27+11=49.

Resposta

(a) \displaystyle v(t)=6t^{2}-42t+60, \displaystyle a(t)=12t-42. O corpo avança em 1\le t<2, para, volta em 2<t<5, para de novo em t=5 e avança até t=6.
(b) A distância total percorrida é 49.

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