PRODUÇÃO Em uma fábrica, a produção é dada por Q=60 K^{1 / 3} L^{2 / 3} unidades, em que K é o capital imobilizado (em milhares de reais) e L é a mão de obra utilizada em homens-horas. Se a produção se mantém constante, qual é a taxa de variação do capital imobilizado no instante em que K=8, L=1.000 e L está aumentando à razão de 25 homens-horas por semana?
[Nota: Funções de produção da forma geral Q=A K^{\alpha} L^{1-\alpha}, em que A e \alpha são constantes com 0<\alpha<1, são conhecidas como funções de produção de Cobb-Douglas. Essas funções aparecem em vários exemplos e exercícios deste livro, especialmente no Capítulo 7.]

Passo 1

O enunciado dá a função de produção de Cobb–Douglas
Q = 60\,K^{1/3}L^{2/3},
em que Q é mantido constante, K é o capital (em milhares de reais) e L é a mão de obra (homens-hora). Sabemos no instante K=8, L=1000 e \tfrac{dL}{dt}=25 (homens-hora/semana). Queremos encontrar \tfrac{dK}{dt}. Para isso vamos usar derivação implícita com relação ao tempo, aplicando \tfrac{dQ}{dt}=0.

Passo 2

Derivando implicitamente Q em relação ao tempo t, usando a regra da cadeia, obtemos
\frac{dQ}{dt} = \frac{\partial Q}{\partial K}\,\frac{dK}{dt} + \frac{\partial Q}{\partial L}\,\frac{dL}{dt}.
Como Q é constante, \tfrac{dQ}{dt}=0.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial Q}{\partial K} =60\cdot\frac{1}{3}K^{-2/3}L^{2/3} =20\,K^{-2/3}L^{2/3},
\frac{\partial Q}{\partial L} =60\cdot\frac{2}{3}K^{1/3}L^{-1/3} =40\,K^{1/3}L^{-1/3}.

Passo 4

Substituindo em 0=\partial Q/\partial K\,\tfrac{dK}{dt}+\partial Q/\partial L\,\tfrac{dL}{dt} e isolando \tfrac{dK}{dt}:
0 = 20\,K^{-2/3}L^{2/3}\,\frac{dK}{dt} + 40\,K^{1/3}L^{-1/3}\,\frac{dL}{dt} \quad\Longrightarrow\quad \frac{dK}{dt} = -\frac{40\,K^{1/3}L^{-1/3}}{20\,K^{-2/3}L^{2/3}}\;\frac{dL}{dt}.
Simplificando a potência de K e L:
\frac{dK}{dt} = -2\,K^{1/3+2/3}\,L^{-1/3-2/3}\,\frac{dL}{dt} = -2\,\frac{K}{L}\,\frac{dL}{dt}.

Passo 5

Basta agora substituir K=8, L=1000 e \tfrac{dL}{dt}=25:
\frac{dK}{dt} = -2\cdot\frac{8}{1000}\cdot25 = -2\cdot0,008\cdot25 = -0,4.
Isso significa que o capital imobilizado diminui a 0{,}4 mil reais por semana.

Resposta

\displaystyle \frac{dK}{dt}=-0{,}4 (mil reais por semana)

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