PRODUÇÃO Em uma fábrica, a produção é dada por
unidades, em que
é o capital imobilizado (em milhares de reais) e
é a mão de obra utilizada em homens-horas. Se a produção se mantém constante, qual é a taxa de variação do capital imobilizado no instante em que
e
está aumentando à razão de 25 homens-horas por semana?
[Nota: Funções de produção da forma geral
, em que
e
são constantes com
, são conhecidas como funções de produção de Cobb-Douglas. Essas funções aparecem em vários exemplos e exercícios deste livro, especialmente no Capítulo 7.]
[Nota: Funções de produção da forma geral
Passo 1
O enunciado dá a função de produção de Cobb–Douglas
em que
é mantido constante,
é o capital (em milhares de reais) e
é a mão de obra (homens-hora). Sabemos no instante
,
e
(homens-hora/semana). Queremos encontrar
. Para isso vamos usar derivação implícita com relação ao tempo, aplicando
.
Passo 2
Derivando implicitamente
em relação ao tempo
, usando a regra da cadeia, obtemos
Como
é constante,
.
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais:
Passo 4
Substituindo em
e isolando
:
Simplificando a potência de
e
:
Passo 5
Basta agora substituir
,
e
:
Isso significa que o capital imobilizado diminui a
mil reais por semana.