1. O produto de dois números é 2.160, e o mmc deles, 180. Determine-os.

Passo 1

O enunciado diz que dois números inteiros a e b satisfazem
acdot b = 2160
e
mmc(a,b)=180
O conteúdo é teoria de máximo divisor comum (m.d.c.) e mínimo múltiplo comum (m.m.c.), em particular a relação
acdot b = gcd(a,b);mmc(a,b)

Passo 2

Usando a relação acima, temos
gcd(a,b) = acdot bmmc(a,b) = 2160180 = 12

Passo 3

Como gcd(a,b)=12, escrevemos
a = 12x, b = 12y,
com gcd(x,y)=1. Além disso
mmc(a,b) = 12,x,y = 180
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x,y = 18012 = 15,
com gcd(x,y)=1.

Passo 4

Procuramos pares (x,y) de inteiros positivos, coprimos, cujo produto seja 15. Os divisores de 15 são 1,3,5,15, e as únicas factorizacões em fatores coprimos são
(x,y) in (1,15),,(3,5),,(5,3),,(15,1)

Passo 5

Voltando aos números originais,
(a,b) = (12x,,12y),
obtemos os pares
(12cdot1,;12cdot15) = (12,180),
(12cdot3,;12cdot5) = (36,60),
e as permutações (60,36) e (180,12).

Resposta

Os pares de números que satisfazem as condições são
(12,,180)e(36,,60),
considerando ordem indiferente.

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