Quais as progressões aritméticas nas quais a soma de dois termos quaisquer faz parte da progressão?
Passo 1
O enunciado pede para encontrar todas as progressões aritméticas (PA) tais que, dados quaisquer dois termos
e
, a soma
também é um termo da mesma PA. Vamos usar a definição de termo geral de uma PA e impor essa condição.
Passo 2
Em uma PA com primeiro termo
e razão
, o
-ésimo termo vale
Passo 3
Tomando dois termos genéricos
e
, temos
e, portanto,
Queremos que exista um índice
tal que
Passo 4
Igualando as duas expressões:
Logo
Para que
seja sempre um inteiro (independente de
e
), é necessário e suficiente que
Resposta
Todas as PAs cujo primeiro termo
é múltiplo inteiro da razão
. Em outras palavras, existem
e
tais que
Nesse caso
O único caso degenerado com
que funciona é
, i.e.\ a PA identicamente zero.