Quais as progressões aritméticas nas quais a soma de dois termos quaisquer faz parte da progressão?

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todas as progressões aritméticas (PA) tais que, dados quaisquer dois termos am e an, a soma am+an também é um termo da mesma PA. Vamos usar a definição de termo geral de uma PA e impor essa condição.

Passo 2

Em uma PA com primeiro termo a1 e razão d, o k-ésimo termo vale
ak=a1+(k-1),d

Passo 3

Tomando dois termos genéricos am e an, temos
am=a1+(m-1)d, an=a1+(n-1)d
e, portanto,
am+an =2a1+(m+n-2)d
Queremos que exista um índice k tal que
am+an=ak = a1+(k-1)d

Passo 4

Igualando as duas expressões:
2a1+(m+n-2)d = a1+(k-1)d ;Longrightarrow; k-1=2a1+(m+n-2)d -a1d =a1d+m+n-2
Logo
k = m+n-1 + a1d
Para que k seja sempre um inteiro (independente de m e n), é necessário e suficiente que
a1dinZ

Resposta

Todas as PAs cujo primeiro termo a1 é múltiplo inteiro da razão d. Em outras palavras, existem qinZ e dneq0 tais que
an=a1+(n-1)d com a1=q,d
Nesse caso
am+an=am+n+q-1
O único caso degenerado com d=0 que funciona é a1=0, i.e.\ a PA identicamente zero.

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